vignette|Fonction zêta de Hurwitz En mathématiques, la fonction zêta de Hurwitz est une des nombreuses fonctions zêta.
Elle est définie, pour toute valeur du paramètre, nombre complexe de partie réelle strictement positive, par la série suivante, convergeant vers une fonction holomorphe sur le demi-plan des complexes tels que : .
Par prolongement analytique, s'étend en une fonction méromorphe sur le plan complexe, d'unique pôle .
est la fonction zêta de Riemann.
Représentation intégrale , où désigne la fonction GammaVoir par exemple .
Prolongement analytique La fonction s'étend en une fonction méromorphe, d'unique pôle , simple, avec un résidu égal à Voir par exemple , ou .
Développement de Laurent Son développement de Laurent en ce pôle est
où les coefficients . sont les « constantes de Stieltjes généralisées » (les constantes de Stieltjes usuelles correspondent à la fonction zêta de Riemann).
La généralisation correspondante de la formule de Jensen-Franel est la formule de Hermite : .
La constante d'indice 0 est l'opposée de la fonction digamma. : .
Formule de Hurwitz La formule de Hurwitz. est le théorème suivant, valide pour et , ainsi que pour et :
où , étant la fonction polylogarithme.
Équation fonctionnelle L'équation fonctionnelle relie les valeurs de la fonction zêta sur le côté gauche — et droit — du plan complexe. Pour les nombres entiers
reste valable pour toutes les valeurs de .
Développement en série de Taylor La dérivée partielle de la fonction zêta est une suite de Sheffer : . Ainsi, la série de Taylor peut être écrite comme suit : .
Transformation de Fourier La transformée de Fourier discrète de la fonction zêta de Hurwitz par rapport à l'ordre s est la fonction chi de Legendre.
Lien avec d'autres fonctions spéciales Relation avec les polynômes de Bernoulli Puisque, avec la notion introduite ci-dessus, la série de Fourier des polynômes de Bernoulli est (pour et ) : , la formule de Hurwitz donne (pour et ) : Voir par exemple , ou .
Relation avec les fonctions L de Dirichlet En fixant un entier , les fonctions L de Dirichlet pour les caractères modulo sont des combinaisons linéaires de où et .
Plus précisément, soit un caractère de Dirichlet . La fonction L de Dirichlet associée s'écrit : . Par inversion de Plancherel, on en déduit, pour toute fraction irréductible : ,
la somme portant sur tous les caractères de Dirichlet .
Relation avec la fonction polygamma La fonction zêta de Hurwitz généralise la fonction polygamma : .
Relation avec la fonction transcendante de Lerch La fonction transcendante de Lerch généralise la fonction zêta de Hurwitz :
et ainsi .
Relation avec la fonction thêta de Jacobi Si est la fonction thêta de Jacobi, alors
reste valable pour et z complexe non entier.
Pour z = n un entier, ceci se simplifie en
où est la fonction zêta de Riemann. Cette distinction selon l'intégralité de z rend compte du fait que la fonction thêta de Jacobi converge vers la fonction δ de Dirac pour z lorsque .
Applications La fonction zêta de Hurwitz apparaît principalement en théorie des nombres, mais aussi dans les statistiques appliquées ; voir la loi de Zipf et la .
Références
Voir aussi Articles connexes Opérateur de Gauss-Kuzmin-Wirsing Bibliographie
, § 6.4.10
Liens externes
Hurwitz Catégorie:Statistiques Zeta Hurwitz