Un dodécaèdre régulier est un solide formé de 12 faces polygonales égales. Le préfixe dodéca signifie douze en grec ancien, c'est le nombre de faces de tout dodécaèdre. Les faces isométriques d’un dodécaèdre régulier convexe sont des pentagones réguliers. Un seul dodécaèdre régulier est convexe, c'est l’un des cinq solides de Platon. Les autres sont les trois dodécaèdres de Kepler‑Poinsot.

Description

La sphère circonscrite d’un dodécaèdre régulier est la sphère passant par tous ses sommets. Sa sphère inscrite est tangente à toutes ses faces en leurs centres.

Convexe ou non, un dodécaèdre régulier possède trente arêtes. Un dodécaèdre de Platon et un grand dodécaèdre étoilé ont chacun vingt sommets, tandis qu’un grand dodécaèdre et un petit dodécaèdre étoilé en ont douze chacun. Les douze faces d’un dodécaèdre de Platon ou d’un grand dodécaèdre sont des pentagones convexes, celles d’un petit ou d’un grand dodécaèdre étoilé sont des pentagones étoilés.

L’enveloppe convexe d’un dodécaèdre de Kepler‑Poinsot est soit un dodécaèdre de Platon dans le cas du grand dodécaèdre étoilé, soit un dual du dodécaèdre de Platon dans les deux autres cas : un icosaèdre de Platon.

Dodécaèdre de Platon

Son polyèdre dual est l’icosaèdre régulier convexe.

Grandeurs caractéristiques

En notant la longueur d’une arête, et le nombre d'or :

le rayon de sa sphère circonscrite est le rayon de sa sphère inscrite est son aire est son volume vaut deux faces contiguës forment son angle dièdre, de les vingt points de coordonnées sont les sommets d’un dodécaèdre régulier d’arête centré sur l’origine du repère.

Patrons et premières projections

Une vasque, posée sur son patron horizontal, le cache en partie dans la vue de dessus. Le patron se plie dans l’espace pour former les six faces de la vasque. Les cinq plis sont les côtés du pentagone central : le fond de la vasque. Le pliage transforme cinq paires de sommets du patron en cinq extrémités d’arêtes obliques, marquées d’un disque brun. Par exemple la paire P 1 et P 2 devient un seul point, nommé P seulement en élévation. Les cinq autres sommets du bord dentelé de la vasque sont marqués en bleu. La face grise cache le point C en vue de face de l’image 2, son nom C est estompé en gris. Une règle de géométrie descriptive voudrait que la partie cachée des arêtes soit en pointillés, et pas de pointillés non plus dans l’image 3. Ils seront tracés dans certains dessins ultérieurs.

désigne la longueur des arêtes de la vasque, ou des côtés de ses faces : six pentagones réguliers convexes. L’étoilement du fond de la vasque est aussi un pentagone régulier, dont les sommets sur son cercle circonscrit sont cinq sommets du patron. Un axe de rotation en pointillé, invariant lors du pliage, prolonge un pli du patron et passe par deux sommets de l’étoilement. Ces sommets tels que F ou K sont des points fixes lors du pliage, chacun sur deux prolongements mobiles de futurs segments non adjacents du bord de la vasque. Les positions finales des prolongements sont tracées en vert. Les points P 1 et P 2 appartiennent à la droite (FK ), position initiale des droites (FL ) et (KN ) avant le pliage. Ces deux points P 1 et P 2 se déplacent lors des rotations, chacun dans un plan vertical perpendiculaire au pli. Une autre sorte de pointillé représente l’un de ces plans verticaux. Finalement, P 1 et P 2 se rejoignent au sommet P de la vasque, marqué d’un disque brun. Il appartient aux deux plans verticaux, et au plan de symétrie vertical des trois faces concernées. Ce troisième plan contient l’axe vertical du fond de la vasque, et l’arête oblique d’extrémité P.

Point d’intersection de la droite oblique (KP ) et d’un autre prolongement du bord de la vasque, N sort du cadre de l’image 2 en vue de face, mais les trois vues de l’image 3 le montre. Sa position est analogue à celle de S ou L, car une ou plusieurs rotations d’un cinquième de tour dans un sens ou dans l’autre, autour de l’axe vertical de la vasque, la laisse globalement inchangée. Les points bleus sont les sommets d’un pentagone régulier horizontal, comme les sommets inférieurs du bord dentelé de la vasque, marqués en brun. La vue de dessus ne déforme ni l’un, ni l’autre pentagone. En notant φ le nombre d’or, est la longueur des côtés du pentagone aux sommets bruns : la longueur des diagonales horizontales des faces obliques de la vasque. On démontre qu’en vue de dessus, d’une part un sommet bleu se projette au centre de l’une des cinq faces périphériques du patron, d’autre part les deux pentagones réguliers horizontaux sont de la même taille. Autrement dit, ils sont isométriques.

Le bord dentelé de la vasque a dix segments, égaux et de même pente. Leurs projections verticales égales forment le contour de la vasque : un décagone régulier. Par rapport au point C de l’axe vertical de la vasque, équidistant des plans horizontaux des pentagones réguliers, les dix segments du bord dentelé sont deux à deux symétriques, ainsi que leurs milieux : les sommets du décagone régulier horizontal que l’image 2 trace en vert, et qui réduit à l’échelle cos 18 o le contour de la vasque vue de dessus.

La vasque en entier ayant le même bord que sa symétrique par rapport à C, représente une moitié des faces d’un dodécaèdre de Platon, dont le centre C appartient à n’importe lequel des six axes, perpendiculaires à deux faces opposées en leurs centres. La distance 2 entre les faces horizontales du polyèdre de l’image 3 est le diamètre de sa sphère inscrite, tangente aux douze faces en leurs centres.

S est un point du plan horizontal de la face supérieure du dodécaèdre. Du point S partent en traits fins cinq arêtes vertes d’une pyramide, absolument transparente. Sa base est une face pentagonale régulière. Les faces triangulaires de la pyramide ont chacune deux angles de 72 o, ce sont cinq triangles d’or isométriques. Cinq arêtes égales du dodécaèdre prolongent les cinq arêtes vertes, égales, et S est le centre d’une homothétie, qui agrandit la face pentagonale régulière en une section pentagonale régulière du dodécaèdre, en traits fins rouges. Dans un pentagone régulier convexe, le rapport des longueurs d’une diagonale à l’un des côtés est le nombre d’or. Alors chaque diagonale de la section pentagonale mesure qui est la distance entre deux arêtes opposées du dodécaèdre.

L’échelle φ de l’agrandissement de la face pentagonale en la section pentagonale rouge, autrement dit le rapport φ de l’homothétie inscrit dans plusieurs égalités de l’image, évoque une possible définition du nombre d’or, jadis appelé divine proportion : “ le rapport de la plus grande mesure à la plus petite, égal au rapport de leur somme à la plus grande ”. En écrivant nos rapports de longueurs dans l’ordre de cette définition : A S/ A U = S U/ S A = φ ≈ 1,618, approximation par défaut de la solution positive de l’équation déduite de cette possible définition de φ. La forme plus générale φ n + 2 = φ n + 1 + φ n , où n est un entier relatif quelconque, permet de considérer le terme général d’une suite géométrique de raison φ ou 1 / φ comme la somme ou la différence des deux termes précédents de la suite. Le prochain nombre ou plus loin est une puissance entière du nombre d’or.

Les cinq sommets de l’étoilement horizontal du fond de la vasque, plus leurs symétriques par rapport à C tels que L, S ou N, appartiennent aux cinq axes obliques du solide, perpendiculaires à deux faces opposées. Ajoutons‑leur deux points invisibles dans les dessins, de part et d’autre de C sur l’axe vertical du solide, à la même distance de C que les dix précédents. Nous obtenons les douze sommets d’un étoilement du dodécaèdre de Platon : les sommets d’un grand dodécaèdre ou d’un petit dodécaèdre étoilé, ou de leur enveloppe convexe commune : un icosaèdre de Platon dual de notre solide, dont la vasque possède une moitié des faces.

Paires de cubes

Comme les précédentes 2 et 3, les images 4 et 5 en début et en fin de rubrique montrent une figure de dimension 3, projetée orthogonalement sur des plans. Et la figure peut changer d’orientation. Elle a pivoté autour de la verticale Δ 1 par exemple, entre la première vue et les suivantes de l’image 4, d’une part sous l’œil immobile qui est au zénith, d’autre part sous un regard d’une direction immuable : la direction horizontale des projections en élévation.

Les deux premières vues de dessus de l’image 5 sont identiques, à une rotation près autour de l’image dans les deux projections de la verticale Δ 1, qui est aussi l’image du centre C du dodécaèdre. La rotation autour de Δ 1 est différente dans l’image 4, mais on peut construire la première élévation de la même façon, point par point. Partant d’un point précis de la première vue de dessus de l’image 5, par exemple à partir de l’image du point T de l’espace, vu de dessus, la verticale de rappel ascendante est tracée. Et l’horizontale de rappel est tracée vers la gauche, qui part de l’image de T en deuxième élévation. Verticale et horizontale de rappel se coupent en l’image voulue de T, dans l’élévation en cours de construction. Supprimée de l’image 4, une vue de dessus analogue a permis de vérifier la qualité du dessin, au fur et à mesure des calculs et du codage de l’image en SVG. Les deux dernières vues en élévation de l’image 5 elles aussi sont identiques, à un déplacement près : une rotation autour du point image de l’horizontale Δ 2, devenue perpendiculaire au plan des projections en élévation. Cette seconde rotation transforme le dodécaèdre de diagonale verticale, en un solide qui a deux faces horizontales sur douze. Le contour de son dessin canonique de quatre faces possède alors deux segments horizontaux, comme en première élévation de l’image 3.

Sauf exception, la symétrie par rapport à un point C d’une figure de l’espace, dans une projection sur un plan, ne se traduit pas par l’invariance du dessin dans une rotation de 180 o autour de l’image de C, à moins de confondre en imagination traits pleins et pointillés. Les deux axes de symétrie, perpendiculaires au centre d’un dessin canonique de quatre faces sur douze, peuvent représenter deux médiatrices communes à deux arêtes opposées du polyèdre. Ces deux droites perpendiculaires dans l’espace, et sécantes au centre C du solide, sont les axes de deux rotations d’un demi‑tour dans l’espace, qui transforment en lui‑même notre solide de quinze fois deux arêtes. Donc ce solide possède au moins quinze symétries d’un demi‑tour. En fait, il y en a quinze exactement. Dans l’espace l’axe de symétrie d’un demi‑tour, perpendiculaire en C aux deux précédents, se projette au centre du dessin canonique, comme l’axe Δ 2 dans les dernières élévations de l’image 5. Dans une image, on vérifie une symétrie ou une autre en oubliant délibérément les couleurs qui remplissent les pentagones.

Les deux axes de symétrie perpendiculaires au centre d’un dessin canonique de dodécaèdre, peuvent aussi représenter deux de ses plans de symétrie, perpendiculaires l’un de l’autre, et perpendiculaires chacun au plan de la projection. Plan de projection parallèle à un troisième plan de symétrie analogue : le plan médiateur d’une paire d’arêtes opposées du dodécaèdre. Ce plan de symétrie contient une autre paire d’arêtes opposées. Dans les images 4 et 5 de cette rubrique, trois plans de symétrie du polyèdre, perpendiculaires deux à deux, sont associés à trois paires d’arêtes opposées bleues.