Un polytope à 4 dimensions (ou polychore) régulier convexe est un objet géométrique, analogue en 4 dimensions des solides de Platon de la géométrie en 3 dimensions et des polygones réguliers de la géométrie en 2 dimensions.
Ces polytopes furent décrits la première fois en parallèle par le mathématicien suisse Ludwig Schläfli et par la mathématicienne autodidacte irlandaise Alicia Boole Stott, au milieu du . Schläfli et Boole Stott découvrirent, sans avoir conscience des travaux de l'autre, qu'il y avait précisément six figures de ce type. Cinq d'entre elles sont considérées comme les analogues de dimension 4 des solides de Platon. Il y a une figure supplémentaire (l'icositétrachore) qui n'a aucun équivalent tri-dimensionnel.
Chaque polytope régulier convexe à 4 dimensions est limité par des cellules tri-dimensionnelles qui sont toutes des solides de Platon du même type et de même taille. Ceux-ci sont organisés ensemble le long de leurs côtés de manière régulière.
Ils sont tous homéomorphes à une hypersphère à la surface tri-dimensionnelle ; leur caractéristique d'Euler-Poincaré vaut donc 0.
Propriétés
Caractéristiques Le tableau suivant résume les caractéristiques principales des polychores réguliers : symbole de Schläfli ; nombre de sommets, d'arêtes, de faces et de cellules ; figure de sommet ; polychore dual ; groupe de Coxeter et ordre du groupe.
Polychore Symbole de Schläfli Sommets Arêtes Faces Cellules Figure de sommet Dual Groupe de Coxeter Ordre Pentachore {3,3,3} 5 10 10(triangles) 5(tétraèdres) Tétraèdre (Lui-même) A4 120 Tesseract {4,3,3} 16 32 24(carrés) 8(cubes) Tétraèdre Hexadécachore B4 384 Hexadécachore {3,3,4} 8 24 32(triangles) 16(tétraèdres) Octaèdre Tesseract B4 384 Icositétrachore {3,4,3} 24 96 96(triangles) 24(octaèdres) Cube (Lui-même) F4 Hécatonicosachore {5,3,3} 600 720(pentagones) 120(dodécaèdres) Tétraèdre Hexacosichore H4 Hexacosichore {3,3,5} 120 720 (triangles) 600(tétraèdres) Icosaèdre Hécatonicosachore H4
Dimensions Le tableau suivant résume certaines propriétés géométriques des polychores réguliers : V : hypervolume S : hypersurface R : rayon de la 3-sphère circonscrite r : rayon de la 3-sphère inscrite (r) θ : angle dichoral
Dans les formules, φ est le nombre d'or et l'arête est de longueur unité.
Polychore V S R r θ Pentachore Tesseract Hexadécachore Icositétrachore Hécatonicosachore Hexacosichore
Représentations Le tableau suivant recense quelques projections particulières des polychores.
Polychore Symbole de Schläfli Diagramme de Coxeter-Dynkin Polygone de Petrie Projection orthographique solide Diagramme de Schlegel Projection stéréographique Pentachore {3,3,3} 105px 105pxTétraèdre 105px 105px Tesseract {4,3,3} 105px 105pxCube 105px 105px Hexadécachore {3,3,4} 105px 105pxCube 105px 105px Icositétrachore {3,4,3} 105px 105pxCuboctaèdre 105px 105px Hécatonicosachore {5,3,3} 105px 105pxTriacontaèdre rhombique tronqué 105px 105px Hexacosichore {3,3,5} 105px 105pxPentaki-icosidodécaèdre 105px 105px
Liste Pentachore
Le pentachore est le simplexe régulier de dimension 4. Son symbole de Schläfli est {3,3,3}.
Ses autres noms sont : 5-cellules, pentatope, hyperpyramide à base tétraédrique, hypertétraèdre, 4-simplexe.
Ses éléments sont : 5 sommets 10 arêtes 10 faces triangulaires 5 cellules tétraédriques Comme tous les simplexes, il est son propre dual. Il fait partie du groupe de symétrie . Sa figure de sommet est un tétraèdre.
150px
Tesseract
C'est un hypercube à 4 dimensions. Son symbole de Schläfli est {4,3,3}.
Ses autres noms sont : l'octachore, le 8-cellules, le 4-cube.
Ses éléments sont : 16 sommets 32 arêtes 24 faces carrées 8 cellules cubiques
Son dual est le 16-cellules (un hypercube est en effet toujours dual d'un hyperoctaèdre et vice-versa). Il fait partie du groupe de symétrie . Sa figure de sommet est un tétraèdre.
200px
Hexadécachore
C'est un hyperoctaèdre à 4 dimensions. Son symbole de Schläfli est {3,3,4}.
Ses autres noms sont : le 16-cellules, le 4-orthoplexe, le 4-octaèdre.
Ses éléments sont : 8 sommets 24 arêtes 32 faces triangulaires 16 cellules tétraédriques
Il peut être considéré comme une double hyperpyramide à base octaédrique.
Son dual est le tesseract (un hyperoctaèdre est en effet toujours dual d'un hypercube et vice-versa). Il fait partie du groupe de symétrie . Sa figure de sommet est un octaèdre.
150px
Icositétrachore
Il n'a aucun analogue en 3 dimensions. Son symbole de Schläfli est {3,4,3}.
Ses autres noms sont : le 24-cellules, l'octaplexe, le poly-octaèdre.
Ses éléments sont :
24 sommets 96 arêtes 96 faces triangulaires 24 cellules octaèdriques
Ayant autant de sommets que de cellules, et autant d'arêtes que de faces, il est son propre dual. Il fait partie du groupe de symétrie . Sa figure de sommet est un cube.
200px
Hécatonicosachore
Il est l'analogue quadri-dimensionnel du dodécaèdre régulier. Son symbole de Schläfli est {5,3,3}.
Ses autres noms sont : l'hécatonicosaédroïde, le 120-cellules, le dodécaplexe, l'hyperdodécaèdre, le polydodécaèdre.
Ses éléments sont : 600 sommets 1200 arêtes 720 faces pentagonales 120 cellules dodécaèdriques
Son dual est l'hexachosichore, de la même façon que l'icosaèdre était le dual du dodécaèdre. Son groupe de symétrie est . Sa figure de sommet est un tétraèdre.
250px
Hexacosichore
Il est l'analogue quadri-dimensionnel de l'icosaèdre régulier. Son symbole de Schläfli est {3,3,5}.
Ses autres noms sont : le 600-cellules, le tétraplexe, l'hypericosaèdre, le polytétraèdre.
Ses éléments sont : 120 sommets 720 arêtes 1200 faces triangulaires 600 cellules tétraédriques
Son dual est l'hecatonicosachore, de la même façon que le dodécaèdre était le dual de l'icosaèdre. Son groupe de symétrie est . Sa figure de sommet est un icosaèdre.
250px
Références
Voir aussi Nombre figuré 4-polytopique Nombre figuré 4-polytopique centré Polychores de Schläfli-Hess, les polychores réguliers non convexes
Bibliographie Liens externes Les polychores réguliers sur le site mathcurve Les dimensions sur le site dimensions-superieures
Patrons des polychores réguliers Le film documentaire Dimensions donne des moyens de s'imaginer ces objets Les polychores réguliers sur Eusebeia Alicia Boole Stott’s four-dimension polytopes sur Alicia Boole Stott
H. S. M. Coxeter, Regular Polytopes, éd., Dover Publications, 1973 D. M. Y. Sommerville, An Introduction to the Geometry of n Dimensions, New York, E. P. Dutton, 1930 (Dover Publications, 1958), chap. X (« The Regular Polytopes »)
Catégorie:Polychore