En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre, un idéal est un sous-ensemble remarquable d'un anneau : c'est un sous-groupe du groupe additif de l'anneau qui est, de plus, stable par multiplication par les éléments de l'anneau. À certains égards, les idéaux s'apparentent donc aux sous-espaces vectoriels — qui sont des sous-groupes additifs stables par une multiplication externe ; à d'autres égards, ils se comportent comme les sous-groupes distingués — ce sont des sous-groupes additifs à partir desquels on peut construire une structure d'anneau quotient.
Apparus à la fin du en théorie algébrique des nombres pour généraliser à des entiers algébriques la décomposition en facteurs premiers des entiers, les idéaux ont rapidement joué un rôle central en algèbre et en géométrie algébrique, en particulier à la suite des travaux d'Emmy Noether isolant l'importance des conditions de chaîne. Au-delà de l'algèbre, ils interviennent de façon centrale dans les développements du de certains chapitres d'analyse fonctionnelle, notamment l'étude des algèbres de Banach et l'analyse harmonique commutative.
En algèbre commutative, deux types d'idéaux sont omniprésents : les idéaux maximaux et, sans doute encore davantage, les idéaux premiers. Dans l'anneau des entiers relatifs, tant les idéaux maximaux que les idéaux premiers (non nuls) sont les pZ, où p est un nombre premier ; dans les anneaux commutatifs plus abstraits ces familles d'idéaux généralisent la notion de nombre premier.
En théorie des anneaux non commutatifs, il faut prendre garde à l'existence juxtaposée de deux concepts distincts d'idéaux : les idéaux à gauche (ou à droite), qui sont des sous-modules, et les idéaux bilatères, ceux par lesquels on peut quotienter. Alors que la structure des anneaux non commutatifs les plus généraux peut être extrêmement complexe, on a plus de prise sur ceux vérifiant les conditions de finitude découvertes par Emmy Noether et Emil Artin, à savoir des conditions de chaîne sur leurs idéaux à gauche ou à droite.
Définitions Deux notions d'idéaux coexistent, qui coïncident dans le cas d'un anneau commutatif mais jouent des rôles bien différents sans hypothèse de commutativité de la multiplication.
Les idéaux comme sous-modules : idéaux à gauche et à droite Une partie I d'un anneau A est appelée un idéal à gauche (respectivement à droite) de A lorsque. :
I est un sous-groupe additif de A. Pour tout a de A et tout x de I, ax ∈ I (resp. xa ∈ I). Autrement dit, on demande à I d'être stable sous multiplication à gauche (resp. à droite) par tout élément de A, même ceux qui ne sont pas dans I.
En utilisant le langage des modules, on peut définir plus brièvementC'est par exemple le choix fait dans . un idéal à gauche (resp. à droite) comme un sous-module pour la structure de A-module à gauche (resp. à droite) sur A.
On appelle ensuite idéal bilatère de A (ou idéal tout court lorsqu'il n'y a pas de risque de confusion) toute partie de A qui est simultanément un idéal à gauche et un idéal à droite. Lorsque l'anneau est commutatif, ces notions se confondent toutes mais elles jouent des rôles très dissemblables en algèbre non commutative. De fait, bien qu'intervenant occasionnellement en théorie non commutative (ainsi dans la définition des anneaux simples), les idéaux bilatères sont dans ce contexte difficiles à manipuler, et de ce fait moins omniprésents que les idéaux à gauche ou à droite. Si les idéaux bilatères sont relativement peu présents dans l'arsenal théorique de l'algèbre non commutative, ils n'en demeurent pas moins essentiels comme mode de construction d'exemples par passage au quotient ; voir en ce sens plusieurs des exemples au chapitre I de .. On peut remarquer. que les idéaux bilatères sont les sous-structures pour la structure de A-A-bimodule sur A.
Les idéaux comme noyaux : idéaux bilatères et anneaux-quotients
En répétant ce qui vient d'être dit pour se focaliser sur les seuls idéaux bilatères, on peut réécrire explicitement leur définition :
Une partie I d'un anneau A est appelée un idéal bilatère de A (ou idéal quand on ne craint pas de confusion, notamment en algèbre commutative) lorsque, p. 148 pour un exemple d'ouvrage qui définit les idéaux bilatères sans référence préalable aux idéaux à gauche et à droite. :
I est un sous-groupe additif de A ; Pour tout a de A et tout x de I, ax ∈ I et xa ∈ I. Autrement dit, on demande à I d'être stable sous multiplication par tout élément de A (que ce soit à gauche ou à droite), même ceux qui ne sont pas dans I.
Un intérêt spécifique aux idéaux bilatères vient de ce qu'il est possible d'en donner une autre description, qui les lie au concept d'anneau quotient. Étant donné un idéal bilatère I d'un anneau A, le groupe quotient A / I peut être muni d'une structure d'anneau, pour laquelle la projection canonique est un morphisme d'anneaux, de noyau I. Réciproquement, tout noyau est un idéal bilatère. On peut synthétiser ces informations par l'énoncé suivantCet énoncé est utilisé comme définition d'un idéal bilatère par . :
Certaines propriétés des idéaux bilatères peuvent être lues à travers la structure de l'anneau quotient (y compris pour l'exemple des idéaux maximaux). : ainsi dans un anneau commutatif, un idéal bilatère est maximal si et seulement si l'anneau quotient est un corps.
Exemples d'idéaux Si A est un anneau, {0} et A sont des idéaux de A, appelés idéaux triviaux. On appelle idéal propre un idéal différent de A.
Exemples en algèbre commutative Les seuls idéaux dans un corps commutatif K sont les idéaux triviaux. Cette propriété caractérise les corps parmi les anneaux commutatifs. Les idéaux de l'anneau Z des entiers relatifs sont les parties de la forme kZ, pour n'importe quel entier k. Le quotient Z/kZ est l'anneau des entiers modulo k. Dans l'anneau K[X] des polynômes à coefficients dans un corps commutatif K, les idéaux sont les parties de la forme P(X)K[X], pour n'importe quel polynôme P(X). Si ce polynôme est irréductible, l'anneau quotient est un corps, appelé corps de rupture de P(X).
Exemples en algèbre non commutative Les seuls idéaux à gauche dans un corps gauche sont les idéaux triviaux. Cette propriété caractérise les corps gauches parmi les anneaux non commutatifs. En revanche un anneau non commutatif ne possédant pas d'idéal bilatère non trivial n'est pas nécessairement un corps, on dit que c'est un anneau simple. Soit E un espace vectoriel de dimension finie (supérieure ou égale à 2) sur un corps (commutatif ou non). L'anneau des endomorphismes de E n'a pas d'autre idéal bilatère que les deux idéaux triviaux. En revanche, il possède des idéaux à gauche et à droite non triviaux ; pour tout sous-espace F de E, l'ensemble des endomorphismes de noyau contenant F est un idéal à gauche, tandis que l'ensemble des endomorphismes d'image contenue dans F est un idéal à droite.
Propriétés élémentaires Inversibles et idéaux Un idéal (à gauche, à droite ou bilatère) contient au moins un élément inversible si et seulement s'il est égal à l'anneau tout entier.
Morphismes et idéaux
Soit A et B deux anneaux et φ un morphisme d'anneaux de A dans B. Alors :
L'image réciproque d'un idéal à gauche ( à droite, resp. bilatère) de B sous φ est un idéal à gauche (resp. à droite, resp. bilatère) de A. On peut ainsi expliquer pourquoi un noyau est un idéal bilatère : c'est qu'il est l'image réciproque de l'idéal bilatère nul.
En ce qui concerne l'image directe d'un idéal de A, on peut seulement conclure que c'est un idéal (de même nature) du sous-anneau φ(A). Si φ n'est pas surjectif, rien n'oblige que ce soit un idéal de B : qu'on songe à φ l'inclusion canonique de A = ℤ dans B = ℚ. Alors φ(I) n'est un idéal de ℚ que si I est l'idéal nul.
Lorsque φ est surjectif, la situation est toutefois particulièrement simple... :
Intersection d'idéaux
L'intersection de deux idéaux à gauche (resp. à droite, resp. bilatères), ou plus généralement d'une famille d'idéaux, est un idéal du même type.
Idéal engendré par un ensemble
Si P est une partie d'un anneau A, on appelle idéal à gauche (resp. à droite, resp. bilatère) engendré par P l'intersection de tous les idéaux à gauche (resp. à droite, resp. bilatères) de A contenant P. C'est donc le plus petit idéal. contenant P.
On peut le décrire comme suit, les sommes étant à comprendre comme indexées par un ensemble fini :
pour l'idéal à gauche engendré noté ici (P)g :
pour l'idéal à droite engendré noté ici (P)d :
pour l'idéal bilatère engendré noté ici (P) :
.
Un cas important est celui où P a un seul élément x. On parle alors de l'idéal principal (à gauche, à droite ou bilatère) engendré par x.
Somme d'idéaux Si I et J sont deux idéaux à gauche (resp. à droite, resp. bilatères) d'un anneau A, on appelle somme de I et J l'ensemble des x + y où x parcourt I et y parcourt J.
C'est à son tour un idéal du même type. Lorsqu'on interprète les idéaux comme sous-modules, leur somme en tant qu'idéaux est le même idéal que leur somme en tant que sous-modules. La somme peut aussi être définie comme l'idéal du même type engendré par la réunion I ∪ J.
Pour l'intersection et la somme, l'ensemble des idéaux à gauche (resp. à droite, resp. bilatères) d'un anneau A est un treillis.
Plus généralement, pour une famille quelconque d'idéaux à gauche (resp. à droite, resp. bilatères) , la somme de la famille, notée est l'ensemble des sommes ne contenant qu'un nombre fini de termes et où varie dans . Cet ensemble est lui aussi un idéal du même type, et c'est aussi l'idéal de ce type engendré par la réunion des .
Idéaux de type fini, conditions de chaîne Idéaux de type fini On a déjà mentionné plus haut l’appellation d'idéal principal pour un idéal (à gauche, à droite ou bilatère) qui peut être engendré par un seul élément.
On définit plus généralement un idéal de type fini comme un idéal (à gauche, à droite ou bilatère) qui peut être engendré par une partie finie pour les idéaux bilatères. Pour les idéaux à gauche ou à droite, les sources consultées se bornent à renvoyer implicitement à la notion de sous-module de type fini..
Conditions de chaîne sur les idéaux : anneaux noethériens et artiniens Dans cette section on entend par « suite stationnaire » d'idéaux une suite d'idéaux constante à partir d'un certain rang (c'est-à-dire pour laquelle il existe un n tel que ).
On appelle anneau noethérien à gauche (resp. à droite) un anneau dans lequel toute suite d'idéaux à gauche (resp. à droite) croissante pour l'inclusion est stationnaire. On dit aussi qu'il vérifie la « condition de chaîne ascendante » sur les idéaux du type considéré. Cette propriété est reliée à la notion d'idéal de type fini par l'énoncé suivant, à la démonstration assez simple :
On appelle anneau artinien à gauche (resp. à droite) un anneau dans lequel toute suite d'idéaux à gauche (resp. à droite) décroissante pour l'inclusion est stationnaire. On dit aussi qu'il vérifie la « condition de chaîne descendante » sur les idéaux du type considéré (pour l'ensemble de la section jusqu'à cette note)..
Un , à la démonstration fort substantielle, a le corollaire suivant. Lam qualifie le théorème de « hautement non trivial » (). :
Idéaux en algèbre commutative
Les notions détaillées dans cette section admettent des généralisations en algèbre non commutative. Dans cet article d'introduction elles sont présentées dans le seul contexte d'un anneau commutatif, contexte où elles sont particulièrement pertinentes.
Produit d'idéaux