En arithmétique, un autonombre ou nombre colombien. est un entier naturel qui, dans une base donnée, ne peut pas s'écrire sous la forme d'un nombre ajouté à la somme des chiffres de ce nombre. Exemples 15 n'est pas un autonombre, puisqu'il peut être généré par la somme de 12 et de ses chiffres : 15 = 12 + 1 + 2. 20 est un autonombre car il n'existe pas une telle somme pour 20.
Digitaddition La notion d'autonombre est introduite en 1949 par le mathématicien indien Dattatreya Ramachandra Kaprekar lorsqu'il s'intéresse à une transformation sur les nombres qu'il appelle une digitaddition : ajouter au nombre la somme de ses chiffres.
Par exemple S(21) = 21 + 1 + 2 = 24.
On dit que 24 est généré par 21.
La suite qui à chaque entier naturel associe le nombre de ses générateurs est la .
La suite des entiers strictement positifs qui ont au moins un générateur est la suite ; le plus petit entier qui a plusieurs générateurs est 101 = 100 + 1 + 0 + 0 = 91 + 9 + 1.
Kaprekar appelle autonombres les entiers de la suite complémentaire : ceux qui n'ont pas de générateur.
Le fait d'être un autonombre ou non est lié à la base dans laquelle le nombre est écrit. Par exemple, le nombre 11, écrit en base dix, est un nombre généré par 10 alors qu'écrit en base 5 (), il est un autonombre.
Autonombres en base dix La suite des autonombres en base dix est 1, 3, 5, 7, 9, 20, 31 (). Les seuls inférieurs à 100 sont les entiers impairs inférieurs à 10 et les entiers congrus à 9 modulo 11.
La sous-suite des autonombres premiers est 3, 5, 7, 31, 53, 97, 211 (suite ).
Autonombres en base 2 La relation de récurrence suivante permet de construire une infinité d'autonombres en base 2 (mais pas tous). Partant du nombre 1, ajouter le chiffre 1 à gauche dans l'écriture du nombre puis ajouter 1 au nombre obtenu. On obtient successivement 1, 11 + 1 = 110, 1110 + 1 = 1111, 11111 + 1 = 100000.
Les neuf premiers autonombres en base 2 sont 1, 100, 110, 1101, 1111, 10010, 10101, 10111 et 11110.
En 1982, prouve que la densité asymptotique des autonombres en base 2 existe et est strictement positive. puis, avec G. Troi., qu'elle est égale à
où S est l'ensemble des nombres pouvant s'écrire comme somme de termes distincts de la forme 2 + 1 avec k entier naturel.
Ils en déduisent que cette densité est un nombre irrationnel et même — en utilisant le théorème du sous-espace de Wolfgang Schmidt — transcendant..
Autonombres en base quelconque Suite récurrente En toute base b > 2, la suite définie par récurrence ci-dessous produit une infinité d'autonombres en base b (mais pas tous) :
Autonombres en base impaire En 1973, Joshi prouve que n est un autonombre en base b impaire si et seulement si n est impair. Il est facile de montrer que si n est impair alors n est un autonombre mais la réciproque est plus délicate.
Autonombres en base paire En 1991, Patel prouve qu'en base b paire supérieure ou égale à 4, les entiers 2b, 4b + 2 et (b + 1) sont toujours des autonombres.
Références
Liens externes
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