vignette|La spirale des nombres de Lucas, formée à l'aide de quarts d'arcs de cercle à l'intérieur de carrés dont la mesure des côtés correspondent aux nombres de Lucas. En mathématiques, les nombres de Lucas sont les termes de la suite de Lucas généralisée associée à la suite de Fibonacci. Cette suite est donc définie par la même relation de récurrence linéaire :

mais par deux valeurs initiales différentes : au lieu de 0 et 1, La suite est appelée « suite de Fibonacci-Lucas » ou plus simplement « suite de Lucas ».

Premières valeurs Cette suite d'entiers est strictement croissante à partir de n = 1. Ses dix premiers termes (pour n de 0 à 9) sont 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47 et 76 (pour n jusqu'à 500, voir la ).

Propriétés Relation entre un nombre de Lucas et le nombre d’or Le terme général de la suite de Lucas s'exprime en fonction du nombre d'or par la formule suivante, analogue à la formule de Binet pour la suite de Fibonacci : ; Les puissances successives de sont donc voisines des nombres de Lucas. Plus précisément, est égal à , qui est strictement inférieur à 1/2 pour (et qui tend rapidement vers 0), ce qui montre que est alors l'entier le plus proche de . Par exemple : = 2,61809..., = 4,23606..., = 6,85410...

Relations entre les nombres de Lucas et ceux de Fibonacci Les nombres de Lucas sont liés aux nombres de Fibonacci par les identités :

, et ainsi la suite converge vers .

, et donc , et

Relation entre , et le nombre d’or En comparant la formule de Binet, , et la formule analogue pour la suite de Lucas, , on déduit la relation entre , et :

Divisibilité des nombres de Lucas

Une première approche de la question de la divisibilité de par un entier consiste à étudier la suite des restes de modulo : cette suite (r) vérifie (dans Z/Z) la même récurrence et est donc périodique de période au plus (les longueurs des périodes en fonction de forment la suite des périodes de Pisano, ). Plus précisément, l'étude de cette récurrence, et de la relation , dans le corps Z/Z (où est un nombre premier) amène à des résultats analogues à ceux obtenus pour la suite de Fibonacci T. Lengyel, The order of the Fibonacci and the Lucas numbers, Fibonacci Quarterly, 1995. Thomas Jeffery et Rajesh Pereira, Divisibility Properties of the Fibonacci, Lucas, and Related Sequences, 2013..

On démontre également qu’aucun nombre de Lucas n'est divisible par un nombre de Fibonacci .

Nombres de Lucas premiers On conjecture que la sous-suite des nombres de Lucas premiers, 2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521 — — est infinie.

Les indices correspondants, 0, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13 (), sont tous, hormis 0, premiers ou puissances de 2 ., et les seules puissances de 2 connues qui font partie de cette suite d'indices sont 2, 4, 8 et 16.

Congruences

(car ) si est premier mais la réciproque est fausse. Les nombres composés vérifiant sont les nombres pseudo-premiers de Fibonacci.

Notes et références

Lien externe

Catégorie:Suite d'entiers

de:Lucas-Folge#Die spezielle Lucas-Folge