En mathématiques et plus particulièrement en théorie de la mesure, un point du domaine de définition d'une application Lebesgue-intégrable sur ℝ est appelé point de Lebesgue lorsque varie « très peu » au voisinage de ou de manière plus générale si les moyennes des applications sur les boules centrées sur sont « très petites ».
Définition Plus précisément, on dit que est un point de Lebesgue de si
où désigne la boule de ℝ centrée en et de rayon et désigne la mesure de Lebesgue.
Un théorème Le théorème de différentiation de Lebesgue affirme que si (ℝ) alors presque tous les points de ℝ sont des points de Lebesgue. Autrement dit l'ensemble des points ∈ ℝ qui ne sont pas des points de Lebesgue est négligeable.
Application Une application directe du théorème précédent est une généralisation du premier théorème fondamental de l'analyse :
Si (ℝ) et alors, en tout point de Lebesgue de donc presque partout, est dérivable et .
Référence
Voir aussi Articles connexes Fonction maximale de Hardy-Littlewood Oscillation (mathématiques)
Lien externe
Catégorie:Théorie de l'intégration