En mathématiques et plus particulièrement en analyse, la fonction maximale de Hardy-Littlewood est un opérateur qui associe à toute fonction localement intégrable en tout point sur ℝ comme étant la borne supérieure des valeurs moyennes de sur les boules centrées en . La notion de fonction maximale est intervenue pour la première fois dans un article publié en 1930 par Godfrey Harold Hardy et John Edensor Littlewood..
Formulation À toute fonction localement intégrable on peut associer la fonction maximale de Hardy-Littlewood définie par
où désigne la boule de ℝ centrée en et de rayon et désigne la mesure de Lebesgue sur ℝ.
Propriétés La fonction maximale de Hardy-Littlewood associée à toute fonction localement intégrable est semi-continue inférieurement.
Cette fonction n'est jamais intégrable, sauf si . Il existe même intégrable telle que ne soit pas localement intégrable..
Inégalité maximale de Hardy-Littlewood Pour toute application intégrable sur ℝ et tout réel c > 0, on a(donc est finie presque partout). Pour toute fonction réelle croissante sur un intervalle réel on a, de façon analogue Pour toute fonction réelle croissante continue sur ,
Première inégalité.Quitte à passer ensuite à la limite quand d → c, il suffit de montrer queet pour cela, par régularité intérieure, de montrer que pour tout compact inclus dans ,Pour tout point de , il existe un rayon tel quePar compacité, est recouvert par un nombre fini de telles boules et l'on peut, d'après le lemme de recouvrement de Vitali dans le cas fini, choisir parmi elles des boules disjointes telles queOn a alors :car les boules sont disjointes. Deuxième inégalité.En procédant comme pour la première, il suffit de montrer que pour tout et tout compact inclus dans ,Pour tout point de , il existe un réel non nul tel queNotons alors, pour fixé, l'intervalle fermé d'extrémités et (choisi ainsi pour qu'il contienne et soit un voisinage de ).Par compacité, est recouvert par une famille finie et l'on peut même, en enlevant des superflus, supposer qu'un point n'appartient jamais à plus de deux d'entre eux (car si trois intervalles ont un point commun, l'un des trois est inclus dans la réunion des deux autres). On a alors :la dernière inégalité étant due à la croissance de et au fait que les se chevauchent au plus par deux. Ainsi, La troisième inégalité peut se démontrer à l'aide du lemme du soleil levant. et se généraliser en utilisant le théorème de recouvrement de Vitali..
Applications Théorème de différentiation de Lebesgue Théorème de Rademacher
Généralisation au cas des mesures de Borel En gardant les notations précédentes, on peut associer à toute mesure de Borel μ sur ℝ la fonction maximale définie par :
La propriété de semi-continuité inférieure et, si μ est finie, l'inégalité maximale, sont alors encore vraies et se démontrent de la même manière.
Notes et références
Articles connexes Théorème fondamental de l'analyse Point de Lebesgue
Catégorie:Analyse harmonique Catégorie:Analyse réelle Maximale Hardy Littlewood