En mathématiques, un nombre de Giuga est un entier naturel composé qui satisfait à la congruence
D'après le petit théorème de Fermat les nombres premiers satisfont à la congruence. Giuga conjectura en 1950 que l'ensemble des nombres composés satisfaisant à la congruence est vide, c'est la conjecture d'Agoh-Giuga. Les nombres de Giuga sont des nombres de Carmichael (donc sans carré).
Caractérisation des nombres de Giuga
Un nombre est un nombre de Giuga si et seulement si il est composé pour tout facteur premier de .
Majoration de la fonction de comptage des nombres de Giuga
La fonction qui compte le nombre de nombres de Giuga inférieurs à a été étudiée et Tipu. a montré que .
Cette majoration a été améliorée par Luca, Pomerance et Shparlinski :
Nombres faiblement de Giuga Certains auteurs. David Borwein, Jonathan Borwein, Peter Borwein et Roland Girgensohn, « Giuga's Conjecture on Primality » dans American Mathematical Monthly 103 (1996), 40-50 . appellent « nombres de Giuga » ce que Luca, Pomerance et Shparlinski préfèrent nommer . Ce sont les entiers composés vérifiant la propriété plus faible : p | n – p pour tout facteur premier p de n. Contrairement aux précédents, on en connaît des exemples : . Ces nombres sont exactement les nombres composés solutions de l'équation n' = an + 1 avec (a entier naturel) où n' désigne la dérivée arithmétique.
Références
Giuga