En mathématiques, un nombre étoilé est un nombre figuré polygonal centré comptant des points régulièrement répartis dans un hexagramme, à la façon dont sont réparties les cases du plateau des dames chinoises.
Le n-ième nombre étoilé est obtenu en répartissant les points dans l'hexagone central comme pour le n-ième nombre hexagonal centré (ayant points sur les côtés extérieurs) : , et les 6 triangles extérieurs comme pour le (n – 1)-ième nombre triangulaire ayant points sur ses côtés : . On a donc :
Ce nombre est égal au n-ième nombre dodécagonal centré :.
Les 25 premiers nombres étoilés sont 1, 13, 37, 73, 121, 181, 253, 337, 433, 541, 661, 793, 937, 1 093, 1 261, 1 441, 1 633, 1 837, 2 053, 2 281, 2 521, , 3 037, 3 313 et 3 601 (). Cette suite d'entiers est de période 25 modulo 100 et de période 3 modulo 9.
Il existe une infinité d'indices pour lesquels le n-ième nombre étoilé est triangulaire () et une infinité pour lesquels il est carré (). Dans les deux cas, ce sont les solutions d'une équation diophantienne. Les trois premiers nombres étoilés triangulaires sont E = 1 = T, E = 253 = T et E = 49 141 = T et les trois premiers nombres étoilés carrés sont E = 1, E = 121 = 11 et E = 11 881 = 109.
Les dix plus petits nombres étoilés premiers sont 13, 37, 73, 181, 337, 433, 541, 661, 937 et 1 093 ().
Généralisation La notion peut être généralisée à des polygrammes quelconques . Le nombre étoilé associé à un polygramme d'ordre est défini comme le -ième nombre -gonal centré auquel on ajoute copies du ()-ième nombre triangulaire. On a donc :
Ce nombre est donc égal au -ième nombre 2-gonal centré.
Références
Etoile