vignette|upright=1.4|En coordonnées polaires, la position du point M est définie par la distance r et l'angle θ. vignette|upright=1.4|Un cercle découpé en angles mesurés en degrés. Les coordonnées polaires sont, en mathématiques, un système de coordonnées curvilignes à deux dimensions, dans lequel chaque point du plan est entièrement déterminé par un angle et une distance. Ce système est particulièrement utile dans les situations où la relation entre deux points est plus facile à exprimer en termes d’angle et de distance, comme dans le cas du pendule. Dans ce cas, le système des coordonnées cartésiennes, plus familier, impliquerait d’utiliser des formules trigonométriques pour exprimer une telle relation.
Comme il s’agit d’un système bidimensionnel, chaque point est déterminé par ses deux coordonnées polaires, la coordonnée radiale et la coordonnée angulaire. La coordonnée radiale (souvent notée r ou ρ, et appelée rayon) exprime la distance du point à un point central appelé pôle (équivalent à l’origine des coordonnées cartésiennes). La coordonnée angulaire (également appelée angle polaire ou azimut, et souvent notée θ ou t) exprime la mesure, dans le sens trigonométrique (sens positif), de l’angle entre la demi-droite d’angle 0°, appelée axe polaire, et la demi-droite qui relie l'origine au pointDans certains cas, notamment celui de courbes s'enroulant plusieurs fois autour de l'origine, il peut être commode de supprimer la restriction ( et ) et d’utiliser les coordonnées équivalentes ou , où est un entier quelconque..
Histoire
Le concept d’angle et de rayon était déjà utilisé lors du millénaire L’astronome Hipparque créa une table trigonométrique qui donnait la longueur de la corde pour chaque angle, et il utilisait les coordonnées polaires pour établir les positions des étoiles.. Dans Des spirales, Archimède étudia la spirale d'Archimède, dans laquelle le rayon est fonction de l’angle. Cependant les Grecs ne l’étendront pas à un système de coordonnées complet.
Il existe plusieurs versions de l’introduction des coordonnées polaires comme système de coordonnées formel. Grégoire de Saint-Vincent et Bonaventura Cavalieri ont indépendamment introduit ce concept dans le milieu du . Saint-Vincent a écrit sur ce thème en 1625 et a publié son travail en 1647, pendant que Cavalieri publia ses écrits en 1635, une version corrigée vit le jour en 1653. Cavalieri a d’abord utilisé les coordonnées polaires pour résoudre un problème relatif à l’aire sous une spirale d'Archimède. Blaise Pascal usait largement des coordonnées polaires pour calculer la longueur de paraboles.
Dans Méthode des Fluxions (écrit en 1671, publié en 1736), Isaac Newton étudia les transformations entre les coordonnées polaires, qu'il appelait "Seventh Manner; For Spirals", et neuf autres systèmes de coordonnées.. Dans le journal Acta Eruditorum (1691), Jacques Bernoulli utilisa un système avec un point et une droite, appelés respectivement le pôle et l'axe polaire. Les coordonnées étaient déterminées par leur distance au pôle et leur angle par rapport à l'axe polaire. Bernoulli utilisa même ce système pour déterminer le rayon de courbure de courbes exprimées dans ce système.
Le terme actuel de coordonnées polaires a été attribué à Gregorio Fontana et a été utilisé par les écrivains italiens du . Le terme apparait en anglais pour la première fois dans la traduction de 1816 effectuée par George Peacock du Traité du calcul différentiel et du calcul intégral de Sylvestre-François Lacroix... Alexis Clairaut fut le premier à penser à étendre les coordonnées polaires en trois dimensions, et Leonhard Euler a été le premier à vraiment les développer..
Placer des points en coordonnées polaires thumb|Les points (3;60°) et (4;210°) en coordonnées polaires.
Chaque point du plan est déterminé par les coordonnées polaires, qui sont la coordonnée radiale et la coordonnée angulaire. La coordonnée radiale (souvent notée r ou ρ, et appelé rayon) exprime la distance du point à un point central appelé pôle (équivalent à l'origine des coordonnées cartésiennes). La coordonnée angulaire (également appelée angle polaire ou azimut, et souvent notée t ou θ) exprime la mesure, dans le sens trigonométrique, de l’angle entre le point et la demi-droite d’angle 0°, appelé axe polaire (équivalent à l’axe des abscisses en coordonnées cartésiennes)..
Par exemple, le point de coordonnées polaires (3 ; 60°) sera placé à trois unités de distance du pôle sur la demi-droite d’angle 60°. Le point (–3 ; –120°) sera au même endroit car une distance négative sera considérée comme une mesure positive sur la demi-droite opposée par rapport au pôle (tournée de 180° par rapport à la demi-droite d’origine).
L’un des aspects importants du système de coordonnées polaires, qui n’est pas présent dans le système cartésien, est qu’il existe une infinité de coordonnées polaires désignant un même et unique point. En effet, on peut rajouter des mesures d’un tour complet sans affecter l’emplacement du point. Par exemple, le point (3 ; 420°) est confondu avec le point (3 ; 60°). En général, le point (r ; θ) peut être représenté par (r ; θ ± 2nπ) ou (−r ; θ ± (2 n + 1)π), où n est un entier quelconque et les angles sont notés en radians..
Les coordonnées arbitraires (0 ; θ) sont conventionnellement utilisées pour représenter le pôle, sans se soucier de la valeur attribuée dans ce cas à l’angle θ, un point de rayon r = 0 sera toujours sur le pôle.. Pour obtenir un unique représentant du point, on limite le rayon aux réels positifs et l’angle entre –180° et 180° (ou 0° et 360°), ou si l’on utilise les radians entre –π et π (ou 0 et 2π). On dit que l’angle est donné modulo 360° ou 2π..
L’angle en notation polaire est généralement donné en degrés ou radians, en utilisant la convention 2π = 360°. Le choix dépend du contexte. En navigation, les degrés sont de rigueur, alors que certaines applications physiques (comme l’étude des rotations en mécanique) et la plupart des mathématiques utilisent les radians..
Conversion entre système polaire et cartésien thumb|Un schéma illustrant les formules de conversion.
Les deux coordonnées polaires r et θ peuvent être converties en coordonnées cartésiennes x et y en utilisant les fonctions trigonométriques sinus et cosinus :
Deux coordonnées cartésiennes x et y permettent de calculer la première coordonnée polaire r par : (par une simple application du théorème de Pythagore).
Pour déterminer la seconde (l’angle θ), on doit distinguer deux cas : pour r = 0, l’angle peut prendre n’importe quelle valeur réelle ; pour r ≠ 0, pour obtenir une unique valeur de θ, on se restreint à l’intervalle [0, 2 π[ (ou de manière équivalente ]–π, π]).
Pour obtenir θ dans l’intervalle [0, 2π[, on utilise les formules suivantes (arctan désigne la réciproque de la fonction tangente) :
Pour l’obtenir dans l’intervalle ]–π, π], on utilise les formules. :
Pour obtenir θ dans l’intervalle ]–π, π[, on peut également utiliser la formule suivante, plus concise :
qui est valable pour tout point du plan à l'exception du demi-axe des abscisses négatives.
On peut aussi utiliser la fonction atan2 :
ou encore la fonction arccos ou arcsin : voir Nombre complexe#Coordonnées polaires.
Équation polaire
Une équation qui définit une courbe algébrique exprimée en coordonnées polaires est connue sous le nom d’équation polaire. Dans la plupart des cas, une telle équation peut être spécifiée en définissant r comme une fonction de θ. La courbe résultante est alors formée des points du type (r(θ) ; θ) et peut être vue comme le graphe de la fonction polaire r.
Différentes formes de symétries peuvent être déduites de l’équation d’une fonction polaire. Si r(–θ) = r(θ) alors la courbe est symétrique par rapport à l’axe horizontal (les demi-droites 0° et 180°). Si r(π – θ) = r(θ), la courbe sera symétrique par rapport à l’axe vertical (90° et 270°).
À cause du caractère circulaire des coordonnées polaires, beaucoup de courbes peuvent être décrites par une équation polaire simple, alors que leur équation cartésienne serait beaucoup plus compliquée. Quelques courbes polaires les plus connues sont : la spirale d'Archimède, la lemniscate de Bernoulli, le limaçon de Pascal ou encore la cardioïde.
Cercle thumb|Un cercle d'équation r(θ) = 1.
L'équation générale d'un cercle de centre (r ; φ) et de rayon a est :
Dans de nombreux cas, cette équation est simplifiée.. Par exemple, pour un cercle centré sur le pôle et de rayon a :
pour un cercle passant par le pôle (r = a) :
Droite vignette|upright=1.35|Droite radiale (vert) définie par son angle φ ; Droite non radiale (bordeau) et l'illustration de son équation dans le système de coordonnées. Une droite radiale (qui passe par le pôle) est représentée par l'équation :
où φ, constant, correspond à l'angle de la droite. On a donc φ = arctan m où m est la pente de la droite en coordonnées cartésiennes.
Une droite non radiale qui coupe perpendiculairement au point (r; φ) la droite radiale définie par son angle constant φ, de façon que la droite non radiale soit tangente d'un cercle hypothétique de rayon r, a pour équation :
ou selon un équivalent de la fonction trigonométrique sécante :
avec φ, constant, et θ appartenant à .
Rosace thumb|La rosace d'équation polaire
Une rosace est une courbe très connue qui ressemble à des pétales de fleurs, et qui peut être exprimée par une simple équation polaire :
pour n'importe quelle constante réelle φ. Si k est un entier, cette équation produit une fleur avec 2k pétale(s) si k est pair, et k pétale(s) si k est impair. Si k est un nombre rationnel, l'équation produit une courbe en forme de fleur dont les pétales se chevauchent. Ces équations ne peuvent fournir de courbe en forme de fleur à 2, 6, 10, 14… pétales. La constante réelle a détermine la longueur d'un pétale du centre à son extrémité.
Spirale d'Archimède
La spirale d'Archimède est une spirale découverte par Archimède, qui peut être également exprimée à partir d'une équation polaire :
Changer le paramètre fait tourner la spirale autour du pôle, alors que détermine la distance entre les bras, qui pour une spirale donnée est constante. Une spirale d'Archimède possède deux bras, connectés au pôle : l'un pour et l'autre pour , lorsque , et alors chaque bras est le symétrique de l'autre par rapport à l'axe vertical (90°/270°). Cette courbe est l'une des premières courbe, après les coniques, à être décrite par des termes mathématiques et à être un exemple de courbe simplement exprimée en coordonnées polaires.
Conique
Une conique avec un foyer confondu avec le pôle et un autre sur l'axe polaire (0°), le grand axe étant confondu avec l'axe polaire) est donnée par l'équation :
où e est l'excentricité et p est appelé paramètre de la conique, et correspond à la longueur du segment perpendiculaire au grand axe joignant le foyer à la courbe. Si e > 1 l'équation définit une hyperbole, si e = 1, une parabole, si e < 1 une ellipse. Enfin pour e = 0 on obtient un cercle de rayon p.
Nombre complexe thumb|Une illustration du nombre complexe placé dans le plan complexe. Ici et
Chaque nombre complexe peut être représenté par un point dans le plan complexe, et de plus peut être exprimé par ses coordonnées cartésiennes (appelé forme algébrique du nombre complexe) ou par ses coordonnées polaires. La forme algébrique d'un nombre complexe z est de la forme :
où x et y sont des réels et est l'unité imaginaire. Sa forme polaire est (d'après les formules données plus haut) :
où r est un réel positif ou nul (r étant nul si et seulement si z est nul) et θ un réel. De là on en déduit :
ce qui est équivalent, par la formule d'Euler. (à noter que toutes ces formules, à l'instar de toutes les autres utilisant l'exponentielle ou les angles, utilisent les radians). Pour convertir d'une forme à l'autre, les formules données plus haut conviennent).