En mathématiques, un nombre k-hyperparfait (quelquefois simplement appelé nombre hyperparfait) est un entier naturel n tel queoù est la somme de tous les diviseurs positifs de n. Les nombres parfaits sont donc les nombres 1-hyperparfaits.
Suites de nombres Les premiers termes de la suite croissante des nombres k-hyperparfaits sont 6, 21, 28, 301, 325, 496, ... (), les valeurs correspondantes de k étant 1, 2, 1, 6, 3, 1, 12, ... (suite ). Les premiers nombres k-hyperparfaits qui ne sont pas parfaits sont 21, 301, 325, 697, 1333, ... (suite ).
Table
La table suivante liste les premiers nombres k-hyperparfaits pour certaines valeurs de k, mis en regard avec le numéro de la suite des nombres k-hyperparfaits dans l'Encyclopédie électronique des suites entières : kOEIS Quelques nombres k-hyperparfaits connus 1 6, 28, 496, 8128, 33550336, ... 2 21, 2133, 19521, 176661, 129127041, ... 3 325, ... 4 1950625, 1220640625, ... 6 301, 16513, 60110701, 1977225901, ... 10 159841, ... 11 10693, ... 12 697, 2041, 1570153, 62722153, 10604156641, 13544168521, ... 18 1333, 1909, 2469601, 893748277, ... 19 51301, ... 30 3901, 28600321, ... 31 214273, ... 35 306181, ... 40 115788961, ... 48 26977, 9560844577, ... 59 1433701, ... 60 24601, ... 66 296341, ... 75 2924101, ... 78 486877, ... 91 5199013, ... 100 10509080401, ... 108 275833, ... 126 12161963773, ... 132 96361, 130153, 495529, ... 136 156276648817, ... 138 46727970517, 51886178401, ... 140 1118457481, ... 168 250321, ... 174 7744461466717, ... 180 12211188308281, ... 190 1167773821, ... 192 163201, 137008036993, ... 198 1564317613, ... 206 626946794653, 54114833564509, ... 222 348231627849277, ... 228 391854937, 102744892633, 3710434289467, ... 252 389593, 1218260233, ... 276 72315968283289, ... 282 8898807853477, ... 296 444574821937, ... 342 542413, 26199602893, ... 348 66239465233897, ... 350 140460782701, ... 360 23911458481, ... 366 808861, ... 372 2469439417, ... 396 8432772615433, ... 402 8942902453, 813535908179653, ... 408 1238906223697, ... 414 8062678298557, ... 430 124528653669661, ... 438 6287557453, ... 480 1324790832961, ... 522 723378252872773, 106049331638192773, ... 546 211125067071829, ... 570 1345711391461, 5810517340434661, ... 660 13786783637881, ... 672 142718568339485377, ... 684 154643791177, ... 774 8695993590900027, ... 810 5646270598021, ... 814 31571188513, ... 816 31571188513, ... 820 1119337766869561, ... 968 52335185632753, ... 972 289085338292617, ... 978 60246544949557, ... 1050 64169172901, ... 1410 80293806421, ... 2772 95295817, 124035913, ... 3918 61442077, 217033693, 12059549149, 60174845917, ... 9222 404458477, 3426618541, 8983131757, 13027827181, ... 9828 432373033, 2797540201, 3777981481, 13197765673, ... 14280 848374801, 2324355601, 4390957201, 16498569361, ... 23730 2288948341, 3102982261, 6861054901, 30897836341, ... 31752 4660241041, 7220722321, 12994506001, 52929885457, 60771359377, ... 55848 15166641361, 44783952721, 67623550801, ... 67782 18407557741, 18444431149, 34939858669, ... 92568 50611924273, 64781493169, 84213367729, ... 100932 50969246953, 53192980777, 82145123113, ...
Propriétés Si k > 1 est un entier naturel impair et p = (3k + 1)/2 etq = 3k + 4 sont des nombres premiers, alors pq est k-hyperparfait ; Judson S. McCranie a conjecturé en 2000 que tous les nombres k-hyperparfaits pour k > 1 impair sont de cette forme, mais l'hypothèse n'a pas encore été démontrée. De plus, si p ≠ q sont des nombres premiers impairs et k un entier tel que k(p + q) = pq – 1, alors pq est k-hyperparfait.
Il est aussi possible de montrer que si k > 0 et p = k + 1 est premier, alors pour tout i > 1 tel que q = p – p + 1 est premier, n = pq est k-hyperparfait. La table suivante liste les valeurs connues de k et les valeurs correspondantes de i pour lesquelles n est k-hyperparfait : k OEIS Valeurs de i 16 11, 21, 127, 149, 469, ... 22 17, 61, 445, ... 28 33, 89, 101, ... 36 67, 95, 341, ... 42 4, 6, 42, 64, 65, ... 46 5, 11, 13, 53, 115, ... 52 21, 173, ... 58 11, 117, ... 72 21, 49, ... 88 9, 41, 51, 109, 483, ... 96 6, 11, 34, ... 100 3, 7, 9, 19, 29, 99, 145, ...
Voir aussi Articles connexes Nombre parfait multiple Nombre déficient Nombre presque parfait
Liens externes
Bibliographie
Hyperparfait