En mathématiques, un nombre puissant est un entier naturel m non nul tel que, pour chaque nombre premier p divisant m, p divise aussi m ou, ce qui est équivalent, m est un carré, un cube ou le produit d'un carré par un cube. Ces nombres ont été étudiés entre autres par Erdős, Szekeres et Golomb.
Les 26 premiers termes de cette suite d'entiers () sont : 1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256.
Équivalence des deux définitions Pour tout nombre premier p, notons k l'exposant (éventuellement nul) de p dans la décomposition en facteurs premiers de m. La première définition équivaut à : aucun k n'est égal à 1 et la seconde à : tous les k sont de la forme 2u + 3v avec u et v entiers naturels. La seconde implique donc clairement la première. La réciproque se vérifie facilement en prenant v égal à 0 ou 1, selon la parité de k.
Propriétés Décomposition La décomposition d'un nombre puissant en produit d'un cube et d'un carré n'est pas unique dès lors qu'une des puissances dans sa décomposition en facteurs premiers vaut 6 ou est supérieure ou égale à 8. En effet peut être lu comme le carré de ou le cube de .
Cependant, pour un nombre puissant ni cube, ni carré, la décomposition d'un nombre puissant sous la forme , où est un entier sans facteur carré, est unique.
Répartition Il existe une infinité de nombres puissants mais aucun de la forme (doubles d'un impair).
La somme des inverses des nombres puissants converge
où est la fonction zêta de Riemann ; voir la . Stabilité Le produit de deux nombres puissants est un nombre puissant; les éléments primitifs sont les carrés et cubes de nombres premiers. Nombres puissants consécutifs Il existe une infinité de paires de nombres puissants consécutifs comme (8,9) ou (288,289). On peut en générer autant que l'on veut à l'aide d'une équation de Pell-Fermat. Si est solution de alors où et est un couple de nombres puissants consécutifs. En 1970, on ne connaissait qu'un seul couple de nombres puissants consécutifs dont aucun n'est un carré : le couple .
Plus généralement, en 1982, Wayne L. McDaniel a démontré que tout nombre entier peut s'écrire d'une infinité de façons comme la différence de deux nombres puissants.
Concernant une suite de trois nombres puissants consécutifs, il est conjecturé mais non encore démontré, qu'il n'en existerait pas.
Une suite de quatre nombres puissants consécutifs ne peut pas exister car parmi 4 entiers consécutifs, l'un est nécessairement le double d'un nombre impair et ne peut donc pas être puissant. Références
Bibliographie
Voir aussi
Carré parfait Cube parfait Listes de sommes d'inverses d'entiers
Liens externes
Puissant