En mathématiques, un nombre double de Mersenne est un nombre de Mersenne de la forme
où est un entier strictement positif et désigne le -ième nombre de Mersenne.
Premières valeurs Les plus petits nombres doubles de Mersenne sont donc :
.
Nombre double de Mersenne premier Puisqu'un nombre de Mersenne ne peut être premier que si est premier (condition nécessaire mais pas suffisante), un nombre double de Mersenne ne peut être premier que si est un nombre de Mersenne premier (ce qui nécessite avant tout que le soit : on a vu par exemple que et ne sont pas premiers).
Les seuls nombres doubles de Mersenne premiers connus sont , , et .
Après 2, 3, 5 et 7, les premières valeurs de pour lesquelles est premier sont = 13, 17, 19, 31. Pour ces quatre valeurs, n'est pas premier (des facteurs explicites ont été trouvés). Le candidat suivant, , est bien trop grand pour les tests actuels.
Nombre de Catalan-Mersenne Les nombres de Catalan-Mersenne , définis par récurrence par et , sont de Mersenne pour et doubles de Mersenne pour . Les cinq premiers ( à ) sont les nombres premiers 2, M = 3, M = M = 7, M = M = 127 et M = M ().
Le suivant, c = M, est encore plus énorme que le M du § ci-dessus.
S’il faut définir un c, c’est parce qu’à l’époque de Mersenne, on considérait encore 1 comme un nombre premier.
Références
Catégorie:Nombre de Mersenne Double de Mersenne