vignette|alt=Portrait de Ehrenfried Walther von Tschirnhaus|Portrait de Ehrenfried Walther von Tschirnhaus La méthode de Tschirnhaus, imaginée et mise au point par Ehrenfried Walther von Tschirnhaus, est une tentative de résoudre le point clé de la théorie des équations à savoir trouver une méthode générale de résolution de l'équation polynomiale. Cette méthode tente de ramener l'équation que l'on veut résoudre à d'autres équations de degré moins élevé. Cette méthode échoue de façon certaine pour les équations de degré supérieur ou égal à cinq qui ont un groupe de Galois non résoluble.
Principe de la méthode Tschirnhaus rappelle d'abord que toute équation de degré
se ramène classiquement à une équation sans terme de degré , par un changement de variable de la forme . En effet, le coefficient du terme en du polynôme
est donc il suffit, pour que ce coefficient soit nul, de choisir égal à .
Cela lui donne l'idée, pour annuler plus de termes, d'introduire une inconnue auxiliaire qui n'est plus une translatée de mais un polynôme, en posant. Traduction en anglais : . :
où (strictement inférieur à ) est le nombre de termes à annuler, et le choix des coefficients est expliqué ci-dessous.
Cette transformation se nomme transformation de Tschirnhaus.
En éliminant entre cette relation et l'équation à résoudre, on obtient une équation de degré et d'inconnue dont les coefficients dépendent des coefficients . On tente alors de déterminer les coefficients de façon à obtenir une équation en plus simple à résoudre, par exemple (pour ) de la forme :
.
Pour cela, dans l'équation en , on pose égaux à tous les coefficients des monômes de degré à . On obtient ainsi un système de équations à inconnues . Ces valeurs, une fois obtenues, sont reportées dans l'équation : , où prend successivement pour valeur l'une des racines -ièmes de .
Tschirnhaus ramène ainsi (sur l'exemple ) la résolution d'une équation de degré à celle de équations de degré . Cependant., sa méthode fournit valeurs pour , qu'il faut tester pour détecter, parmi elles, les solutions effectives. En précisant son idée, on peut trouver directement ces solutions (une par valeur de ).
La méthode ci-dessus permet à Tschirnhaus de donner, pour les solutions d'une équation cubique, une nouvelle formule, différente de celle de Cardan. Il retrouve aussi cette dernière par un autre changement de variable : , réinventant ainsi la substitution de Viète.
Application à la résolution des équations cubiques Considérons une équation de degré 3, sans perte de généralité de la forme
avec . Posons, comme indiqué ci-dessus : .
Le système
est équivalentCes calculs de sont détaillés, complétés et testés sur un exemple, dans la première partie d'un devoir corrigé sur Wikiversité : suivre le lien en bas de page. au système
qui admet des solutions si et seulement si . Cette condition se réécrit, aux notations près. : . On détermine et de façon qu'elle ne contienne plus de terme en ni en :
Ce choix de et permet de simplifier l'équation , qui devient alors : . On termine la résolution en choisissant une racine cubique de , en posant pour , et en calculant, pour chacune de ces trois valeurs, les deux solutions de l'équation du second degré . On obtient ainsi en général 6 valeurs distinctes, dont les 3 solutions de font nécessairement partie. Il suffit, pour conclure, de tester ces 6 valeurs.
Méthode particulière pour les équations du quatrième degré Considérons une équation de degré 4, sans perte de généralité de la forme
avec . Considérons la transformation de Tschirnhaus suivante : .
Le système
admet des solutions si et seulement siCes calculs sont détaillés (et testés sur un exemple) dans la seconde partie du devoir sur Wikiversité déjà mentionné.
avec , , .
L'équation est bicarrée si
ce qui équivaut à
Pour résoudre , il suffit donc de : trouver une solution de l'« équation cubique résolvante » ; calculer et pour ce choix de et pour ; trouver les quatre solutions () de l'équation bicarrée obtenue ; pour chacune de ces quatre valeurs, trouver les deux solutions () de .
On obtient ainsi 8 valeurs , dont les 4 solutions de font nécessairement partie. Il suffit, pour conclure, de tester ces 8 valeurs.
Équation du cinquième degré
Voir à ce propos l'article Radical de Bring.
Remarque historique
Cette méthode est la première méthode générale de résolution des équations à avoir été publiée. Sa publication remonte à 1683.
Notes et références
Voir aussi
Catégorie:Équation polynomiale