vignette|Fiodor Bronnikov, Pythagoriciens célébrant le lever du soleil, huile sur toile, 1869.
L’école pythagoricienne fondée par Pythagore (580-495 av. J.-C.) en Grande-Grèce constitue une confrérie à la fois scientifique et religieuse : le pythagorisme repose en effet sur une initiation et propose à ses adeptes un mode de vie éthique et alimentaire, ainsi que des recherches scientifiques sur le cosmos. Bien que le terme d'école philosophique soit contesté et qu'on préfère généralement parler de secte pour le pythagorismeC'est le cas, entre autres, pour Louis Gernet, André Boulanger, Carlo Natali et Carl Huffman, cités en références., cette association religieuse, politique et philosophique dura neuf ou dix générations, et a joui d'une très grande notoriété aussi bien dans l'antiquité grecque que romaineLes plus célèbres des pythagoriciens romains sont le poète Ovide et le sénateur Publius Nigidius Figulus.. Ses membres adoptèrent le vocable d’études, en grec , pour désigner les multiples branches du savoir qui constituaient leur science particulière : ils explorèrent la science des nombres, les bases de l'acoustique et la théorie musicale, les éléments de la géométrie, le mouvement des étoiles et la cosmologie, tout en adhérant à la doctrine de la religion orphique sur la transmigration des âmesWerner Jaeger, Paideia, La formation de l'homme grec, Gallimard, 1988, 201..
Le pythagorisme et la légende qui s'est formée autour de lui ne sont pas dénués d'obscurités et de sujets à controverse. En distinguant entre et Pythagore lui-mêmeAristote, Métaphysique, 1083 b., Aristote évite de se prononcer sur les liens exacts entre leur pensée et celle du philosophe ; la tradition postérieure, ignorant cette distinction, a sans doute favorisé la fabrication d'un grand nombre de textes pseudépigraphes attribués à Pythagore ou aux Pythagoriciens anciens. Ce n'est qu'à partir du qu'apparaissent les premiers exposés relatifs au mode de vie pythagoricien. Après la mort de Pythagore, l'école a été dirigée par son épouse, la mathématicienne Théano.
Règles de l’enseignement vignette|Pythagore et Philolaos expérimentant divers types de flutes, Theorica musicale, Franchino Gaffurio, 1492 (1480). Au témoignage de Platon dans la RépubliqueLa République de Platon, 600 a-b., Pythagore aurait été un maître influent et bien-aimé, fondateur d'un style de vie apte à garantir une heureuse destinée de l'âme dans l'au-delà. On entrevoit son enseignement à travers les maximes pythagoriciennes citées par Aristote et transmises en grande partie par JambliqueJamblique, Vie de Pythagore, 82 à 86. ; elles ont été désignées par les termes d’, « choses entendues », et de , « mots de passe ou choses à interpréter ». D'après une indication de Jamblique qui remonterait à Aristote, l’enseignement pythagoricien a pu ainsi être divisé en deux parties : une partie pour les « acousmaticiens », (Clément d'Alexandrie, 246.), les non encore initiés, et une pour les initiés, les « mathématiciens ». Mais cette distinction pourrait aussi être le signe du schisme que connurent les communautés pythagoriciennes en crise, les « acousmaticiens » restant attachés aux enseignements orphiques, et tenant pour fondamentales les prescriptions et les interdictions de la confrérie, tandis que les « mathématiciens », plaçant la doctrine du nombre au centre du pythagorismeCarlo Natali, « Lieux et écoles du savoir », dans Jacques Brunschwig et Geoffrey Lloyd, Le Savoir grec, Dictionnaire critique, Flammarion, 1996, 231-232., s'orientaient vers la science, comme on le voit pour le pythagorisme très vivant de Tarente et des colonies de Thèbes et de PhlionteLouis Gernet et André Boulanger, Le Génie grec dans la religion, Albin Michel, 1969, 284-285.. L'enseignement est oral ; était-il secret ? Isocrate dans son Éloge de Busiris rapporte que les pythagoriciens étaient réputés pour leur silence, sans qu'on sache s'il fait allusion à leur maîtrise de soi ou bien à une interdiction de parler faite aux néophytes. Ce qui est sûr, c'est qu'à toutes les questions qu'on leur posait, les initiés répondaient, en se référant à leur Maître : . Une partie au moins de la doctrine devait rester secrète, par exemple la division des animaux rationnels en trois groupes, tandis que pouvaient être divulguées les idées philosophiques et les démonstrations mathématiques qui furent en effet publiées par Philolaos ou Archytas. Quant à la transmission du savoir entre disciples, elle est indissociable du respect des règles morales de l'amitié fraternelle dans son ensemble : règle du silence, respect du grade d’initiation des disciples. L’école pythagoricienne est ainsi une confrérie tant religieuse que scientifique.
Doctrine Aristote dans le Protreptique cite Pythagore comme un fondateur, modèle de l'idéal de vie contemplative, , et ancêtre de la philosophie de PlatonWerner Jaeger, Aristote, Fondements pour une histoire de son évolution, éditions de l'Éclat, 1997, 97. Jamblique, Protreptique, 51, lignes 8 et 11.. Mieux encore, comme l'a reconnu Simone Weil, la doctrine pythagoricienne imprègne tous les aspects de la civilisation grecque, : c'est dire l'importance de la pensée pythagoricienne pour comprendre l'antiquité grecque.
Principes Le limitant et l'illimité : Pour les pythagoriciens, l'univers tout entier est constitué à partir du mélange de deux principes, ce qui limite, qui détermine, qui arrête, , et ce qui est illimité, . C'est le principe qui limite qui toujours domine.
Philolaos de Crotone, figure centrale du pythagorisme ancien, est le premier pythagoricien à avoir laissé une œuvre écrite. Dans son livre, Philolaos rend compte du cosmos en ces termes à l'aide de ces deux types d'entités fondamentales : On peut considérer les illimités comme des continus sans limite intrinsèque, parmi eux figurent l'air, l'eau, la terre, mais aussi le vide et le temps. Les limitants établissent des limites au sein d'un : ce sont par exemple les principes structurants comme les formes. Ainsi, un arbre est une combinaison d'un continu intrinsèquement illimité, le bois, et de principes structurants, la forme et la structure de l'arbre. Philoloas en conclut que les objets particuliers aussi bien que le cosmos sont des combinaisons de limitants et d'illimités qui obéissent à une harmonie, selon des rapports mathématiques. De même, l'origine du cosmos est un feu (illimité) au centre d'une sphère (limitant). Puisque le monde a besoin des contraires pour exister, Théophraste affirmeMétaphysique, livres III et IX. que les pythagoriciens ont pensé que le pouvoir divin est limité et qu'il ne peut ni ne veut ramener le bien au meilleur.
La polarité
Des mathématiques à l'harmonie du monde La doctrine pythagoricienne du nombre est avant tout une symbolique numérique, qui a subi l'influence à la fois de la pseudo-science des ChaldéensLouis Gernet et André Boulanger, Le Génie grec dans la religion, Albin Michel, 1970, 370. et du symbolisme mathématique de la philosophie milésienne de la nature. Il ne s'agit pas d'une simple théorie arithmétique. Elle trouverait son origine dans la découverte par Pythagore des lois naturelles établissant un rapport entre la longueur de la corde de la lyre et la hauteur de la note émise par elle ; par extrapolation, il généralisa ces lois en déclarant que tout, dans la vie humaine comme dans le cosmos, était soumis au nombreAristote, Métaphysique, A 5, 985 b., en tant qu'essence qualitative des choses, et non comme moyen d'exprimer des quantités mesurablesWerner Jaeger, Paideia, La formation de l'homme grec, Gallimard, 1988, 202.. Le nombre est le principe de toute chose, et chaque nombre est associé à une figure ; toutes les choses créées ont chacune un nombre pour symbole, ainsi Aristote cite la formule pythagoricienne suivante : , en grec : , formule ayant pour clef les notions de moyenne proportionnelle et de médiation au sens théologiqueSimone Weil, Intuitions pré-chrétiennes, Fayard, 1985, 118., d’où la restriction à l’étude des nombres entiers positifs : 1 représentait la divinité : Héraclite, très proche des Pythagoriciens, disait aussi : ; 2 : la femme ; 3 ; l’homme ; 4 : la mère ; 10 : la fraternité pythagoricienne.
Cette association nombre-figure est le support d’une abstraction mathématique, car le nombre ne découle plus de résultats d’applications mathématiques - financières, agricoles, entre autres - mais se trouve dès lors posé comme principe premier (l’Arkhè) de connaissance. Il s’agit pour les pythagoriciens d’aller au plus près de la mystique des nombres, par l’établissement de lois entre arithmétiques. Il est notable que les ensembles arithmétiques connus par les pythagoriciens l’aient été par constructions itératives : cela découle en fait de la figuration des nombres. En partant d’une figure simple, tel le triangle formé de trois points, on peut agrandir l’ensemble en conservant sa forme mais en augmentant ses parties, pour arriver, par exemple, à un triangle formé de six points. Cette figuration non-figée est une abstraction importante pour l’Antiquité, d’autant qu’elle concernait également certains volumes (pyramides à bases triangulaire, carré, cylindre...). La comparaison des suites ainsi construites aboutit à la découverte de relations structurelles et générales entre des ensembles particuliers de nombres. Ces lois naturelles sont le noyau dur de la conception pythagoricienne des mathématiques, considérée comme ésotérique et sectaire, où les nombres entiers sont censés représenter la nature tout entière. Cette catégorie du nombre devient une fin en soi, un principe immuable qui a vocation à expliquer toutes choses, comme l'affirme Philolaos de Crotone Hermann Diels, Fragments des Présocratiques, I, 412, fragment 11.. Découverte capitale promise à un grand avenir ; car après les lois numériques régissant les sons, la recherche sur la structure de la musique déboucha sur la connaissance de la nature de l'harmonie et du rythme, harmonie définie comme le rapport qui unit les parties au tout. L'idée mathématique de proportion fut dès lors appliquée au cosmos, gouverné par des lois inflexibles : la notion d'harmonie du monde signifiait à la fois l'harmonie musicale et toute structure mathématique bien équilibrée, soumise à de strictes lois géométriques : , écrit le grand helléniste Werner JaegerWerner Jaeger, Paideia, La formation de l'homme grec, Gallimard, 1988, 204-205..
Astronomie Les Pythagoriciens avaient bâti toute une théorie sur les rapports du zodiaque avec la migration des âmes :
D’après Philippe d'Oponte, certains pythagoriciens réfutaient l'idée que ce soit par interposition de la Terre ou de la Lune qu’ont lieu les éclipses lunaires. Le ciel et les nombres L’anti-Terre
Éthique et métaphysique Voir Acousmates (dans l’article Pythagore)