En mathématiques, et plus précisément en topologie, les théorèmes de Dini énoncent des conditions sous lesquelles la convergence simple d'une suite de fonctions implique la convergence uniforme. Ces théorèmes portent le nom du mathématicien italien Ulisse Dini.

Convergence simple et convergence uniforme Les espaces de fonctions réelles peuvent être munis de topologies différentes, auxquelles sont associées des notions différentes de convergence d'une suite de fonctions, dont la convergence simple et la convergence uniforme : La convergence simple et la convergence uniforme ne nécessitent aucune structure particulière sur l'ensemble de définition. La convergence simple est en général plus facile à obtenir que la convergence uniforme mais elle ne préserve pas la continuité : une limite simple de fonctions continues n'est pas continue en général ; La convergence uniforme se définit pour des suites de fonctions définies sur un espace quelconque, à valeurs dans un espace métrique (ou plus généralement, dans un espace uniforme, comme un groupe topologique). Plus difficile à prouver, la convergence uniforme offre l'avantage de préserver certaines propriétés, comme l'intégrale : la limite des intégrales sur un segment d'une suite de fonctions convergeant uniformément est l'intégrale de la fonction limite.

La convergence uniforme implique la convergence simple, mais la réciproque est fausse dès que l'espace de départ est infini. Les théorèmes de Dini donnent des conditions sous lesquelles la convergence simple d'une suite de fonctions réelles implique sa convergence uniforme. Ce sont donc des outils très efficaces en pratique pour prouver qu'une suite de fonctions converge uniformément. Les théorèmes de Dini demandent que l'espace de départ possède une structure particulière, et que l'espace d'arrivée soit ℝ.

Énoncés des théorèmes de Dini

Premier théorème de Dini Le premier théorème de Dini peut être vu comme une version pour les intégrales de Riemann (intégrale des fonctions continues sur un segment) du théorème de convergence monotone.

Formellement, on dispose d'un espace topologique , d'une suite de fonctions , et l'on fait les hypothèses suivantes : Continuité : les fonctions et la fonction sont continues sur ; Monotonie : la suite est soit croissante (), soit décroissante () ; Compacité : est compact et donc de tout recouvrement ouvert de on peut extraire un sous-recouvrement fini ; Convergence simple : pour tout de , la suite de réels converge vers . On en déduit alors que la suite converge uniformément sur vers .

Deuxième théorème de Dini

On fait donc les hypothèses suivantes : Continuité : la fonction est continue ; Monotonie : pour tout entier et pour tout couple tel que , on a : ; Convergence simple : pour tout de , la suite de réels converge vers . On en déduit que la suite converge uniformément sur vers la fonction .

Bien que connu sous le nom de deuxième théorème de Dini dans l'enseignement francophone, il semble qu'en fait ce théorème soit dû à Pólya..

Généralisation : la conclusion et la démonstration sont inchangées si l'on permet à d'être un intervalle compact de au lieu de ℝ, c'est-à-dire si l'on autorise ou (la fonction étant alors encore bornée, puisqu’elle prend des valeurs finies aux extrémités de l’intervalle).

Convergence uniforme des fonctions de répartition La généralisation ci-dessus du deuxième théorème de Dini possède une application précieuse en probabilités et en statistique :

En conséquence, la convergence uniforme des fonctions de répartition a lieu dans le cas du théorème central limite, où la fonction de répartition limite est celle de la loi normale et est, à ce titre, continue. Cela a des conséquences non anecdotiques en probabilités et statistique, comme le théorème central limite pour la médiane ou pour les processus de renouvellement.

Un détour par l'équicontinuité Le premier théorème de Dini peut se déduire, via le lemme suivant, du théorème d'Ascoli, ou simplement d'une propriété fondamentale de l'équicontinuité qu'on utilise pour prouver ce dernier.

Il faut remarquer que dans ce lemme purement local, l'espace de départ n'est pas supposé compact.

Contre-exemples si l'intervalle de définition n'est pas compact

Les énoncés des deux théorèmes de Dini ne se généralisent pas au cas de fonctions définies sur un intervalle non compact, comme le montre l'exemple de la suite de fonctions de variable réelle ou l'exemple de la suite de fonctions définies sur [0 ; 1[, .

Remarque : dans le contre-exemple de la suite : , les fonctions sont des fonctions de répartitions, mais la limite, la fonction nulle, n'est pas une fonction de répartition.

Démonstrations Les démonstrations proposées reprennent les notations introduites ci-dessus.

Du premier théorème Quitte à remplacer les par , on peut supposer que la suite est décroissante et qu'elle converge simplement vers 0.

On a alors

On fixe un nombre réel ε > 0 et on considère les ensembles

Par continuité des fonctions , ces ensembles sont des ouverts (en fait il suffirait, dans le cas décroissant, de supposer les semi-continues supérieurement et semi-continue inférieurement). La convergence simple de vers 0 se traduit par :

Comme est compact, on peut extraire un sous-recouvrement fini ; il existe donc un entier tel que

Par monotonie, la suite ((ε)) est croissante. Il vient donc :

À nouveau, en utilisant l'hypothèse de monotonie : , on déduit donc que la convergence de vers 0 est uniforme sur .

Du deuxième théorème Soit un réel ε > 0. La fonction est non seulement (par hypothèse) continue de dans ℝ (donc bornée) mais aussi croissante (comme limite simple de fonctions croissantes).

En choisissant un entier /ε, il existe — d'après le théorème des valeurs intermédiaires — une subdivision de telle que

Pour tout , soit tel que . La croissance de et des et le choix de la subdivision impliquent (pour tout entier )

et

Par convergence simple, il existe un entier tel que

Les inégalités précédentes donnent alors :

donc la convergence de vers est uniforme sur .

De la convergence uniforme des fonctions de répartition On note la suite de fonctions de répartition qui converge vers et on prolonge ces fonctions à par leurs limites en en posant :

Les trois hypothèses (croissance des , continuité de et convergence simple) sont préservées lors de cette opération et la convergence uniforme de vers en découle.

Du détour par l'équicontinuité On suppose, comme dans la preuve du premier théorème, que la suite est décroissante et converge simplement vers 0.

On fixe un point de et un nombre réel . Puisque tend vers 0, il existe un entier tel que .

Par continuité en de , il existe un voisinage de tel que pour tout point de ,

On en déduit en particulier , d'où (par décroissance de la suite ) si bien que finalement

ce qui prouve l'équicontinuité au point de la suite .

Notes et références

Catégorie:Analyse fonctionnelle Catégorie:Suite de fonctions Dini