Johann Carl Friedrich Gauß (Prononciation en allemand standard retranscrite phonémiquement selon la norme API. ; traditionnellement transcrit Gauss en français ; Carolus Fridericus Gauss en latin), né le à Brunswick et mort le à Göttingen, est un mathématicien, astronome et physicien allemand. Il a apporté de très importantes contributions à ces trois domaines. Surnommé « le prince des mathématiciens », il est considéré comme l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps.
La qualité extraordinaire de ses travaux scientifiques était déjà reconnue par ses contemporains. Dès 1856, le roi de Hanovre fit graver des pièces commémoratives avec l'image de Gauss et l'inscription (« au prince des mathématiciens » en latin). Gauss n'ayant publié qu'une partie de ses découvertes, la postérité découvrit surtout l'étendue de ses travaux lors de la publication de ses Œuvres, de son journal et d'une partie de ses archives, à la fin du .
Gauss dirigea l'Observatoire de Göttingen et ne travailla pas comme professeur de mathématiques mais il encouragea plusieurs de ses étudiants, qui devinrent d'importants mathématiciens, notamment Gotthold Eisenstein et Bernhard Riemann.
Biographie Jeunesse et études Johann Carl Friedrich Gauß naît en principauté de Brunswick-Wolfenbüttel, dans une famille très modeste.. Il est le fils de Gebhard Dietrich Gauss, maçon, et de Dorothea Benz, fille d'un tailleur de pierre, qui s'étaient mariés le . La mère de Gauss n'a reçu aucune instruction, ne sait pas écrire et sait à peine lire. Celle-ci ne se souvient pas de la date de naissance de son premier fils ; elle se souvient seulement qu’il est né un mercredi, huit jours avant l’Ascension, qui a lieu quarante jours après Pâques. En 1799, alors qu'il a , Gauss réussit à déterminer sa date de naissance, le , grâce à une méthode permettant de calculer la date de Pâques pour n'importe quelle année, passée, présente ou future. Il est baptisé (le dimanche ).) et confirmé à une église près de son école..
Il commence sa scolarité en 1784 à la Katharinen Volksschule, une petite école élémentaire proche de son domicile ; le professeur J.G. Büttner décèle chez Gauss son don des mathématiques et s'efforce de le traiter différemment de ses camarades ; ainsi, en 1786, il fait acheminer depuis Hambourg plusieurs manuels d'arithmétique bien spécifiques, à ses propres frais. Il encadre le jeune Gauss tout au long du cycle élémentaire. Il lui apprend à lire correctement, lui enseigne la grammaire et l'orthographe du haut allemand standard, avec lequel Gauss n'était guère familiarisé, sa langue natale étant le bas allemand. Il l'oblige à soigner son écriture et il est le premier à affiner son immense talent en mathématiques. Si Gauss a néanmoins de la chance de l'avoir comme professeur, c'est le brillant (1769-1836), l'assistant de Büttner, qui sait véritablement lui transmettre la passion des mathématiques. L'entente entre les deux garçons est immédiate, d'autant que Bartels adore les mathématiques, si bien qu'ils se mettent à étudier ensemble, s'aidant mutuellement à déchiffrer les manuels d'algèbre et d'analyse élémentaire. En 1788, Gauss termine l'école élémentaire et suit les cours du de 1788 à 1791. Grâce à ses excellents résultats, il a 14 ans quand il est présenté au duc de Brunswick qui remarque ses aptitudes et lui accorde une bourse annuelle afin de lui permettre de poursuivre son instruction. Il est ainsi envoyé au Collegium Carolinum, entre 1792 et 1795, où il suit notamment les cours de l'entomologiste Johann Christian Ludwig Hellwig. Durant cette période, il formule la méthode des moindres carrés et une conjecture sur la répartition des nombres premiers, conjecture qui ne sera prouvée qu'un siècle plus tardEn 1792 ou 1793 (il avait alors 15 ou 16 ans), selon son propre souvenir presque soixante ans plus tard dans une lettre à Encke de 1849, il aurait écrit sur sa table logarithmique la note brève « Primzahlen unter ». Ce n'est qu'en 1896 que deux démonstrations de ce théorème des nombres premiers seront fournies indépendamment par Jacques Hadamard et Charles-Jean de La Vallée Poussin..
Puis, à sa demande, il poursuit entre 1795 et 1798 des études supérieures à l’université Georgia Augusta de Göttingen, un établissement créé depuis peuEn 1734, le roi George II (1683-1760) fonda à Göttingen une université, Georgia Augusta, calquée sur le modèle d'Oxford et de Cambridge, ce qui garantissait une plus grande indépendance par rapport à l'influence de l'Église et un enseignement de meilleure qualité, en comparaison des autres universités. où les méthodes d'enseignement sont plus modernes qu'à l'université de Helmstedt fondée par un ancêtre du duc de Brunswick. Ainsi, à l'automne 1795, à l'âge de 18 ans, Carl Gauss quitte son Brunswick natal pour s'installer à Göttingen. À l'université, il dispose d'une grande liberté pour gérer ses devoirs d'étudiant. On lui permet même de choisir ses cours et ses tuteurs. En lui offrant l'occasion d'étudier à sa guise pendant les trois années qu'il passe à Georgia Augusta, ses professeurs ont contribué à sa formation de la meilleure façon qui soit. À ce stade, Gauss possède déjà une solide instruction, bien supérieure à celle de ses camarades, grâce notamment aux nombreux ouvrages qu'il a dévorés à la bibliothèque du Collegium CarolinumLe Collegium Carolinum possédait une bibliothèque exceptionnelle où étaient conservés la plupart des grands ouvrages de mathématiques.. Son esprit porte déjà en germe la plupart des idées qu'il développera dans les années à venir.
En 1796, à l'âge de , Gauss caractérise presque complètement tous les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas uniquement (théorème de Gauss-Wantzel), complétant ainsi le travail commencé par les mathématiciens de l'Antiquité grecque. Satisfait de ce résultat, il demande qu'un heptadécagone régulier (polygone régulier de 17 côtés) soit gravé sur son tombeau. Cette découverte, la première notée dans son Journal, le décide à abandonner la philologie pour se consacrer entièrement aux mathématiques Lettre de Gauss à Gerling, 6 janvier 1819..
En , il soutient son doctorat à l'université de Helmstedt, sur le théorème fondamental de l'algèbre C. F. Gauss, Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicum….Au cours de sa vie, il produira quatre preuves différentes de ce théorème et clarifiera considérablement le concept de nombre complexe..
Mécanique céleste et géodésie L'année 1801 voit la publication des Disquisitiones arithmeticae, qui définissent pour la première fois les congruences et initient l'arithmétique modulaire. Elles apportent plusieurs importants théorèmes en théorie des nombres, notamment les deux premières preuves de la loi de réciprocité quadratique. Gauss est aussi capable, par une nouvelle méthode de calcul, de prédire l’emplacement où doit apparaître Cérès, découvert le jour du nouvel an 1801. Ces résultats le rendent célèbre à travers l’Europe.
Il est élu le membre de la Royal Society. Le , il célèbre son premier mariage, avec Johanna Osthoff. Il est à la recherche d’une position indépendante et, en 1807, il est nommé professeur d'astronomie et directeur de l'observatoire astronomique de Göttingen.
En 1809, il publie un travail d'une importance capitale sur le mouvement des corps célestes qui contient le développement de la méthode des moindres carrés, une procédure utilisée depuis, dans toutes les sciences, pour minimiser l'impact d'une erreur de mesure. Il prouve l'exactitude de la méthode dans l'hypothèse d'erreurs normalement distribuéesLa méthode avait déjà été décrite par Adrien-Marie Legendre en 1805, mais Gauss affirma qu'il l'utilisait depuis 1795.. Cette année 1809 est aussi marquée par la mort précoce de sa première femme, Johanna Osthoff, suivie de près par la mort de son fils dernier-né Louis. Gauss sombre dans la dépression et se réfugie dans la solitude, mais finit toutefois par surmonter sa peine après quelques mois, en fréquentant une amie de sa femme, « Minna » Waldeck, qu'il épouse le . vignette|La « pierre de Gauss » et la plaque commémorative des frères Schreitel. Il est dans les années suivantes le premier à envisager la possibilité de géométries non euclidiennes, mais ne publiera jamais ce travail initial.Son ami Farkas Bolyai essaie en vain pendant de nombreuses années de démontrer le postulat de la parallèle à partir des autres axiomes de la géométrie d'Euclide. Le fils de Bolyai, János Bolyai, découvrit à nouveau la possibilité de géométries non euclidiennes en 1820 ; son travail fut publié en 1832. Plus tard, Gauss essaya de déterminer si le monde physique était en fait euclidien en mesurant des triangles géants. « par crainte des cris des Béotiens », selon ses propres termes« », lettre de Gauss à Bessel du 27 juin 1829, citée dans ..
Puis en 1818, Gauss commence une étude géodésique de l'État de Hanovre. Depuis le sommet de la colline surplombant les ruines du château de Lichtenberg, non loin de la ville minière de Salzgitter, il repère différentes mires géodésiques, la plus éloignée étant distante d'une centaine de kilomètresCf. .D'après .. Un monolithe (Gaußstein) y commémore le travail de l'illustre mathématicien. Cette mission mènera au développement des distributions normales pour décrire les erreurs de mesure. Son theorema egregium (« théorème remarquable », en latin), en géométrie différentielle, énonce une propriété importante de la courbure d'une surface.
Recherches en électromagnétisme C'est dans son ouvrage de 1831, Theoria residuorum biquadraticorum C. F. Gauss, Theoria residorum biquadraticorum - Commentatio secunda, ., qu'il présente son plan complexe qui est un plan formé de points et non de vecteurs. C'est aussi dans cet ouvrage qu'il rebaptise les nombres imaginaires en nombres complexesAvant Gauss, le terme de complexe était associé à une somme de plusieurs termes comme un polynôme ou bien à une écriture sous forme sexagésimale ., qualificatif qui est encore en vigueur actuellement. Il pense ainsi avoir levé l'aura de mystère qui entourait ces nombres et qui était due en partie au vocabulaire choisi Gauss - Göttingische gelehrte Anzeigen, 22 avril 1831, Theoria residuorum biquadraticorum, commentatio secunda, Werke II, p 178, .. Cet avis est partagé par ses contemporains : est la phrase du discours adressé à Gauss en 1849, lors du cinquantenaire de son doctorat au Collegium Carolinum de Brunswick.
vignette|Gauss et son jeune collègue Weber : hommage à l'amitié entre deux savants aux opinions politiques opposées (jardins de l'université de Göttingen).