E=mc2

vignette|Sculpture de « E=mc » exposée lors de la « » (« marche des idées ») à Berlin en 2006. L'équation (lire « E égale m c carré » ou « E égale m c deux ») est une formule d'équivalence entre la masse et l'énergie, rendue célèbre par Albert Einstein dans une publication en 1905 sur la relativité restreinte.

Cette relation signifie qu'une particule de masse isolée et au repos dans un référentiel possède, du fait de cette masse, une énergie appelée énergie de masse, dont la valeur est donnée par le produit de par le carré de la vitesse de la lumière dans le vide ().

L'idée d'un lien entre masse et énergie a été conceptualisée pour la première fois à la fin du dans le cadre de la théorie électromagnétique, avec la notion de masse électromagnétique introduite en 1881 par Joseph J. ThomsonJoseph John Thomson, On the Electric and Magnetic Effects produced by the Motion of Electrified Bodies, Philosophical Magazine. 5. Vol. 11, no. 68. pp. 229–249, 1881Kirk T. McDonald, On the History of the Radiation Reaction, Princeton University (2017), Partie 6 : J.J. Thomson and Electromagnetic Mass.

La relation apparaît en 1900 de façon implicite chez le mathématicien et physicien français Henri Poincaré dans l'article intitulé « La théorie de Lorentz et le principe de l’action et de la réaction »Christian Bizouard, « E = m c l’équation de Poincaré, Einstein et Planck » . où il développe certains principes de déformation de l'espace-temps qu'il appelle aussi « relativité », puis en 1903 dans la thèse peu médiatisée de l'Italien Olinto de Pretto.

En relativité restreinte, l'égalité est connue comme la relation d'Einstein. Elle relie une masse et une énergie . L'énergie est l'énergie de masse . La masse est la masse inerte qui apparaît dans la relation fondamentale de la dynamique et caractérise l'inertie d'un corps. Einstein, par cette équivalence de la masse inerte et de l'énergie, introduit le principe d'inertie de l'énergie.

Cette formule de transformation, qui explique l'énergie dégagée par la fission et la fusion nucléaire, en particulier dans les bombes atomiques, marque fortement les esprits car elle met en évidence que, du fait de l'énormité du facteur c, une perte de masse même petite à l'échelle humaine peut dégager une quantité d'énergie considérable. Par exemple, un gramme de matière que l'on annihilerait par collision avec de l'antimatière correspond à environ , soit approximativement l'énergie dégagée par les premières bombes nucléaires.

Cette formule n'est valable que pour une particule au repos mais elle peut être généralisée en où est le facteur de Lorentz, lorsque la particule est animée d'une vitesse .

Histoire Prémisses Dès 1881, Joseph John Thomson (1856-1940) attribue à un conducteur une masse additionnelle de où est l'énergie du champ électromagnétique (voir la masse électromagnétique).

En 1900, Henri Poincaré (1854-1912) observe que le rapport du flux d'énergie de Poynting au flux d'impulsion électromagnétique est de (voir pression de rayonnement). Il suggère que l'énergie électromagnétique doit avoir une masse apparente telle que . Il en conclut qu'un émetteur hertzien émettant de l'énergie sous forme d'ondes doit subir un effet de recul de la même manière qu'un canon expulsant un boulet. La même année, il présente les résultats de ses travaux dans un mémoire intitulé La théorie de Lorentz et le principe de l’action et de la réaction. Il ajoute en 1902 certaines notions liées à la relativité restreinte (déformation de l'espace et du temps eux-mêmes, et non simple déformation des solides comme le supposait Fitzgerald), dans son ouvrage La Science et l'HypothèseHenri Poincaré, La Science et l'Hypothèse, 1902..

Selon l'historien ., l'équation d'équivalence entre masse et énergie aurait été formulée dès 1903 par un physicien amateur italien, Olinto de Pretto.. La formule est décrite le dans un article de publié par la revue scientifique de l'Institut Royal des Sciences, Lettres et Arts de Venise.

En 1904, Friedrich Hasenöhrl (1874-1915) montre que, si l'on considère le mouvement d'une boîte aux murs réfléchissants, vide de toute matière mais contenant un rayonnement électromagnétique d'énergie totale , celui-ci se comporte, du fait de l'énergie de radiation, comme s'il avait une masse . Mais le calcul s’avérera erroné.

Albert Einstein

C'est un an plus tard, avec le dernier des articles publiés lors de son , qu'Einstein exprime ce qui deviendra son équation célèbre : .

Dans ce texte, il produit une première démonstration pour le cas général de cette égalité, qui jusque-là n'avait été démontrée que dans des cas particuliersAbraham Pais, Albert Einstein. La vie et l'œuvre, InterÉditions, 1993 , .. Il en proposera par la suite deux autres, en 1934 et en 1946.

L'équation E = mc fait toutefois partie des apports que certains contestent à Einstein dans le cadre de la controverse sur la paternité de la relativité. Celle-ci ne concerne que la relativité restreinte. La relativité générale, qui demanda dix ans de travaux supplémentaires à Einstein, ne lui fut guère contestée.

Démonstration d'Einstein de 1905

En septembre 1905, Albert Einstein publie un article de trois pages, intitulé « L'inertie d'un corps dépend-elle de l'énergie qu'il contient ? », dans lequel il donne une démonstration de la relation E=mc².

La démonstration est la suivanteAlbert Einstein, Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig ?, Annalen der Physik, 18, p. 639–641., 27 septembre 1905 : on considère un corps de masse M au repos dans un référentiel R1, qui émet à chaque seconde une énergie totale E sous forme de rayonnement électromagnétique. Ce corps émet la même quantité de rayonnement dans toutes les directions, de sorte à ce que la somme des forces qui s'exercent sur lui soit nulle dans son référentiel, et qu'ainsi sa vitesse ne varie pas.

Si on étudie cette même situation depuis un autre référentiel galiléen R2 en mouvement relatif par rapport à R1, on trouve que l'énergie totale rayonnée par le corps y est supérieure à E. En effet, en raison de l'effet Doppler relativiste, phénomène prévu par la théorie de la relativité restreinte, l'énergie totale du rayonnement perçue dans R2 (que l'on peut noter E2) est donnée par :

avec . Si v << c, on a :

Ce résultat peut sembler problématique, dans la mesure où la conservation de l'énergie semble être violée (on devrait avoir E2 = E). Pour résoudre ce problème, on peut utiliser le fait que dans le référentiel R2, le corps émetteur est en mouvement, ce qui implique qu'il possède une énergie cinétique Ec donnée par :

La vitesse du corps n'étant pas affectée lorsqu'il émet du rayonnement, le seul moyen d'assurer la conservation de l'énergie est donc qu'il perde une fraction de sa masse M, de telle sorte que :

En utilisant les résultats obtenus précédemment, ceci implique :

D'où la conclusion d'Einstein : « Si un corps émet une énergie E sous forme de rayonnement, sa masse diminue de E / c² ».

Illustrations En mécanique newtonienne, l'énergie d'une particule isolée provient de sa vitesse et se manifeste sous forme d'énergie cinétique. Au contraire, d'une façon inattendue à l'époque de sa découverte, exprime qu'une particule de masse m possède intrinsèquement une énergie E, même si elle est au repos. Elle stipule que la masse fait partie de l’énergie totale d'un corps, comme l'est l’énergie cinétique. L’énergie totale d’un corps devient donc la somme de son énergie cinétique et de son énergie de masse.

Cette équivalence entre masse et énergie ouvre un éventail de possibilités inconnues de la physique pré-relativiste. En relativité restreinte, la masse peut être « convertie » en chaleur, énergie cinétique ou autre forme d’énergie, au cours d'une réaction. En effet lorsque les particules d'un système donné subissent une transformation, par exemple lors d'une collision, la relativité restreinte impose que l'énergie totale (évaluée dans un certain système de coordonnées) se conserve. Mais comme l'énergie comprend la masse, il est tout à fait possible que « de la masse » apparaisse lors de la réaction (par exemple sous forme de particules) au détriment d'énergie ou que, au contraire, de l'énergie soit libérée par « consommation » de masse.

Numériquement, dans l'équation et dans le Système international d'unités : E est l'énergie exprimée en joules ; m est la masse au repos en kilogrammes ; c est la vitesse de la lumière dans le vide, soit (environ ), ce qui correspond à un facteur c d'environ .

On peut vérifier expérimentalement que la racine carrée du rapport E/m est égale à c dans l'exemple suivant. Dans la désintégration du positronium, il y a création et émission de deux rayons gamma d'énergie (mesurée par rayon) , en compensation de la disparition de deux masses d'électron.

La masse d'un électron étant de , on trouve bien :

et donc :

Bilan masse-énergie dans le domaine nucléaire vignette|La fameuse équation sur le pont de l' lors de l'Opération , dont tous les navires présents étaient propulsés grâce à l'énergie nucléaire.

La transformation de masse en énergie est nettement visible dans le bilan des réactions nucléaires au sein des centrales, des piles et des bombes atomiques. L'énergie correspondant à une masse de de matière qui serait intégralement transformée en énergie est énorme : . Une telle énergie équivaudrait à celle produite par un réacteur nucléaire d'une puissance électrique de pendant deux ans environ Toutefois, dans une réaction nucléaire, la matière impliquée n'est pas intégralement transformée en énergie, tant s'en faut.

Production d'énergie des étoiles

À l'échelle astronomique, la formule explique également comment les étoiles, comme le Soleil, peuvent émettre leur énergie pendant des milliards d'années, alors que cette situation constituait un mystère pour la physique du début du , aucune source d'énergie connue à l'époque ne pouvant en rendre compte.

Au centre du Soleil, les conditions physiques sont telles que s'y produisent des réactions nucléaires capables, au bout d'une chaîne de processus, de transformer quatre noyaux d'hydrogène (quatre protons) et deux électrons, en un noyau d'hélium (4He) et deux neutrinos électroniques, plus des photons gamma : 4 p+ + 2 e- → 4He++ + 2 νe + 2 γ. Il se produit de l'ordre de élémentaires par seconde dégageant une énergie de chacune. Il se trouve que la masse au repos du noyau d'hélium est inférieure à la somme des masses au repos des deux protons et deux neutrons qui le constituent. L'énergie équivalente à cette différence de masse est la source de l'énergie du Soleil.

Grâce à l'importance du facteur de conversion c et à la masse considérable convertie, l'énergie libérée permet à l'étoile de briller pendant une bonne douzaine de milliards d'années. En effet, le flux énergétique des photons émis par le Soleil est de ., auquel s'ajoute celui des neutrinos de , soit un flux énergétique total de . Cela correspond à une perte de masse de de tonnes par seconde, impliquant la transformation de quelque de tonnes d'hydrogène en hélium chaque seconde, la perte de masse étant alors d'environ 0,7 % de la masse initialement en jeu Phillips, K.J.H., Guide to the Sun, Cambridge University Press, 1995, p. 47-53 (lire en ligne sur Google Livres)..

Domaines d'application générale de la formule Domaine moléculaire et atomique