De la mesure du cercle (grec ancien : / ) est un traité d'Archimède composé de trois propositions. Ce traité est seulement une partie de ce qui était une œuvre plus importante. . ; il a été redécouvert en 1906 dans le palimpseste d'Archimède.
Propositions
Proposition 1 thumb|left|Le cercle et le triangle ont la même aire.
Autrement dit : tout cercle de circonférence c et de rayon r a même aire qu'un triangle rectangle de cathètes c et r. Cette proposition est démontrée par exhaustion ..
Proposition 2
Autrement dit : le rapport de la surface du cercle au carré de son diamètre est presque celui de 11 à 14. Ou encore : 22/7 est une bonne approximation du nombre . vignette|Le cercle de rayon inscrit dans un carré de côté .
Démonstration :
Soit un disque de côté et un carré de côté .
Ainsi :
Proposition 3 thumb|Exemples de la manière dont Archimède calcule . Archimède utilise un polygone de 96 côtés pour son approximation.
Autrement dit : le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre est inférieur à mais supérieur à .
Cette proposition revient à fournir un encadrement de . Archimède a trouvé des majorants et minorants de en inscrivant et en circonscrivant un cercle à deux polygones réguliers similaires de 96 côtés ..
Approximation de racines carrées Cette proposition contient aussi une approximation supérieure et inférieure de et d'autres approximations supérieures de racines carrées.
Archimède ne donne pas d'explications sur la manière d'obtenir ces approximations. Cependant la simple expression graphique des fractions continues, exprimée par une suite de rectangles, permet d'obtenir ces mêmes ratios.
Notes et références
Liens externes : traduction littérale et commentée par F. Peyrard, version image numérique sur le site Gallica de la BNF : traduction littérale et commentée par F. Peyrard, version texte numérisé par Marc Szwajcer, sur le site L'antiquité grecque et latine du moyen âge de Philippe Remacle (qui contient aussi les traductions des Éléments d'Euclide par le même auteur)
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