En mathématiques, plus particulièrement dans la théorie des anneaux, un idéal principal est un idéal engendré par un seul élément.
Définition Soit A un anneau. Un idéal à droite I est dit principal à droite s'il est égal à l'idéal à droite engendré par un élément a, c'est-à-dire si I = aA := { ax | x ∈ A }. Un idéal à gauche I est dit principal à gauche s'il est égal à l'idéal à gauche engendré par un élément a, c'est-à-dire si I = Aa := { xa | x ∈ A }. Un idéal bilatère I est dit principal s'il est égal à l'idéal bilatère engendré par un élément a, c'est-à-dire si I = AaA := { xay + … + xay | n ∈ N, x, y, …, x, y ∈ A }.
Si A est commutatif, ces trois notions coïncident et l'idéal engendré par a est noté (a).
Contre-exemples Pour un anneau intègre A contenant un élément a non nul et non inversible, l'idéal engendré par a et Y dans l'anneau de polynômes A[Y] n'est pas principal.
Un exemple d'une telle situation est A = ℤ l'anneau des entiers relatifs car il existe un entier a 0, 1 et –1, ou encore, A = B[X] pour un anneau intègre B et a = X.
Anneau principal Un anneau intègre dont tous les idéaux sont principaux est dit anneau principal.
Par exemple, ℤ et K[X] pour un corps commutatif K sont des anneaux principaux.
Idéaux principaux particuliers
Soient A un anneau commutatif intègre et a un élément non nul de A. (a) est maximal dans l’ensemble des idéaux principaux propres de A si et seulement si a est irréductible ; (a) est premier si et seulement si a est premier ; (a) est maximal si et seulement si a est extrémal. Si A est un anneau à PGCD, les deux premières propriétés sont équivalentes. S'il est de Bézout (en particulier s'il est principal), les trois le sont.
Note
Principal