Un factorion est un entier naturel qui est égal à la somme des factorielles de ses chiffres. Par exemple, 145 est un factorion en écriture décimale car .
En écriture décimale, il n'y a que quatre factorions, ce sont 1, 2, 145 et 40585, soit la .
On peut démontrer qu'en base , un factorion de chiffres ne peut pas dépasser . Un factorion est donc toujours compris entre et .
En base 10 par exemple, comme 10 est plus grand que 8×9!, et que cette inégalité est vraie aussi pour tout supérieur ou égal à 8, un factorion est toujours inférieur à 10.
Liste des factorions
Ce tableau donne la liste des factorions pour différentes bases arithmétiques.
BaseNombre maximum de chiffresFactorions 2 2 1, 10 3 2 1, 2 4 3 1, 2, 13 5 3 1, 2, 144 6 4 1, 2, 41, 42 7 5 1, 2 8 5 1, 2 9 6 1, 2, 10 7 1, 2, 145, 11 8 1, 2, 24, 44, 12 8 1, 2 13 9 1, 2, 83790C5B 14 10 1, 2, 8B0DD409C 15 11 1, 2, 661, 662 16 11 1, 2, 260F3B66BF9+
Généralisation
Clifford A. Pickover Clifford A. Pickover, Keys to Infinity, John Wiley & Sons, 1995, chap. 22 : « The Loneliness of the Factorions ». a introduit les généralisations suivantes : Les factorions du second type, qui sont les nombres égaux au produit des factorielles de leurs chiffres. Les factorions du troisième type, qui peuvent être compris à partir d'un exemple. Si l'on considère le factorion du troisième type abcdef, alors abcdef = (ab)! + c! + d! + (ef)!.
Ces deux généralisations produisent un nombre beaucoup plus important de solutions et l'on ignore encore si leur nombre de solutions est fini.
En base 10, les deux factorions du deuxième type inférieurs à 10 sont 1 et 2, car 1! = 1 et 2! = 2.
Notes et références
Voir aussi Bibliographie George D.Poole, « Integers and the Sum of the Factorials of Their Digits », Mathematics Magazine, vol.44, 1971, Martin Gadner, Mathematical Magic Show: More Puzzles, Games, Diversions, Illusions and Other Mathematical Sleight-of-Mind from Scientific American, New York, Vintage, 1978, chap. 4 : « Factorial Oddities » Joseph S. Madachy, Madachy's Mathematical Recreations, New York, Dover, 1979, p. 167. Eric W. Weisstein, « Factorion », CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, Chapman & Hall/CRC 1999. Liens externes
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