En mathématiques, le groupe a x + b est le groupe ainsi défini :
ses éléments sont les couples de réels avec non nul la loi de composition interne est :
Il est alors facile de voir que est l'élément neutre du groupe, et que l'élément symétrique de est .
Ce groupe peut également se représenter comme :
le groupe affine de la droite réelle, c'est-à-dire l'ensemble des bijections affines de ℝ muni de la composition (d'où le nom du groupe) le sous-groupe du groupe linéaire GL2(ℝ) constitué des éléments de la forme :
Fonction modulaire
Ce groupe est localement compact et possède donc des mesures de Haar à gauche et à droite. Ce groupe n'est pas unimodulaire, c'est-à-dire que les mesures à gauche et à droite ne coïncident pas.
Une mesure de Haar à gauche est . Une mesure de Haar à droite est .
Nous obtenons donc une fonction modulaire :
Représentations unitaires irréductibles
Si on se restreint au sous-groupe obtenu en ajoutant la condition , les représentations unitaires irréductibles du groupe ax+b sont les suivantes : les représentations de dimension 1 correspondent aux représentations des nombres réels strictement positifs, vus comme groupe multiplicatif; l'unique représentation de dimension infinie est obtenue sur par
et
Notes et références
Pour approfondir Bibliographie Yvette Kosmann-Schwarzbach, Groupes et symétries, Éditions de l'École Polytechnique, 2005
Liens externes
Catégorie:Groupe remarquable