vignette|Animation qui explique pourquoi la série vaut 1. En mathématiques, la notion de série permet de généraliser la notion de somme à une infinité de nombres. Il s'agit d'additionner des nombres, les uns après les autres, dans un ordre donné. Voici deux exemples de séries :
1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ : on ne peut pas a priori donner à cette somme infinie une valeur réelle (on parle de série divergente) mais elle peut être prise égale à l'infini. : la valeur de cette somme infinie peut être bien définie comme valant 1, comme le suggère l'animation ci-contre (on parle de série convergente). La notion de série peut être étendue à des sommes infinies ordonnées dont les termes ne sont pas nécessairement des nombres, mais par exemple des vecteurs, des fonctions ou des matrices carrées. Quand les termes de la suite sont des nombres réels ou complexes, on parle de série numérique.
Plus précisément, étant donné une suite de terme général , étudier la série de terme général , c'est étudier la suite obtenue en prenant la somme des premiers termes de la suite , autrement dit la suite de terme général défini par. :.
L'étude d'une série peut passer par la recherche d'une écriture simplifiée des sommes finies en jeu et par la recherche éventuelle d'une limite finie quand tend vers l'infini. Quand cette limite existe, la série est dite convergente, et la limite de quand tend vers l'infini est alors appelée somme de la série, et notée .
Le calcul d'une somme finie ne pouvant pas toujours être simplifié, un certain nombre de méthodes permettent de déterminer la nature (convergence ou non) d'une série sans réaliser explicitement les calculsD'ailleurs il existe des séries convergentes pour lesquelles on peut dire très peu de chose sur leur somme, en dehors de leur existence. Voir par exemple l'article sur le Théorème d'Apéry.. Toutefois, certaines règles de calcul sur les sommes finies ne sont pas nécessairement conservées par la notion de somme d'une série, comme la commutativité ou l'associativité, c'est-à-dire la possibilité de permuter les termes de la suite ou de regrouper certains d'entre eux sans modifier ni la convergence ni la somme de la série.
Les séries permettent en mathématiques d'approximer des nombres. En informatique, elles permettent d'évaluer la complexité d'algorithmes.
Aspects historiques
La considération de véritables sommes infinies est une question étroitement liée à celle du passage à la limite. L'absence persistante des concepts satisfaisants engendra de nombreuses interrogations et spéculations, à l'exemple des paradoxes de Zénon. On trouve néanmoins déjà chez Archimède (La quadrature de la parabole) les premières sommations explicites, avec des progressions géométriques comme 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯.
En Angleterre, au , Richard Suiseth calcule la somme de la série de terme général et son contemporain Nicole Oresme établit que la série harmonique (de terme général ) est divergenteD'après .. À la même époque, le mathématicien et astronome indien Madhava est le premier à considérer des développements de fonctions trigonométriques, sous forme de séries (séries de Taylor et séries trigonométriques). Il utilise ces concepts pour des calculs d'approximation (notamment pour estimer le nombre ) et effectue des estimations de l'erreur commise. Il introduit aussi les premiers critères de convergence. Ses travaux furent poursuivis par ses successeurs de l'école du Kerala, région du sud de l'Inde, et nous sont connus par le livre Yuktibhasahttps://www.manchester.ac.uk/discover/news/indians-predated-newton-discovery-by-250-years/, consulté le 04/12/2021..
Au , James Gregory redécouvre plusieurs de ces résultats, notamment le développement des fonctions trigonométriques en séries de Taylor et celui de la fonction arc tangente permettant le calcul de . En 1715, Brook Taylor, en donnant la construction générale des séries qui portent son nom, établit un lien fructueux avec le calcul différentiel. Au également, Leonhard Euler établit de nombreuses relations remarquables portant sur des séries et introduit les séries hypergéométriques.
Premiers exemples vignette|Le nombre π peut être défini comme la somme de la série de terme général où est la n-ième décimale de π.
Écriture décimale et séries L'écriture décimale d'un nombre réel peut se voir comme une série. Par exemple :
ou encore le nombre π qui s'écrit :
Nombre e Beaucoup de constantes mathématiques sont définies comme somme de série convergente. Par exemple, le nombre e est défini par la série :
Exemple d'une série géométrique
La série est convergente et sa somme vaut 1. La figure plus haut montre une visualisation de sa convergence sur la droite réelle. On peut imaginer un segment de longueur 1, que l'on découpe en segments successifs de longueurs 1/2, 1/4, etc. Il y a toujours assez de place pour marquer le segment suivant, parce que la longueur restante est constamment égale à la longueur du segment qui vient d'être marqué. Lorsque nous avons marqué 1/2, il reste un morceau de longueur 1/2 non marqué, ainsi nous pouvons encore certainement marquer le prochain 1/4. Cet argument ne peut en aucune façon servir de démonstration que la somme de toutes les longueurs des segments est égale à 1, mais permet de deviner que cette somme va rester inférieure à 1 et donc que la suite des sommes partielles est croissante et majorée.
En fait, cette série est une série géométrique ; on démontre sa convergence en écrivant pour tout entier naturel , sa somme partielle au rang qui vaut : . La suite géométrique de raison 1/2 est convergente et de limite nulle donc
On écrit alors . On peut aussi écrire .
Définitions
Discussion autour de la définition de l'objet « série » La présentation des séries peut différer suivant les ouvrages. Pour certains auteurs une série est une suite (infinie) dont on se propose d'additionner les termes An infinite series is a sequence of numbers whose terms are to be added up.E. Vessiot, P. Montel, Cours de Mathématiques Générales-Première Partie par E Vessiot, 1921, éd. p. 72; éd. 1947, p. 72 Une suite infinie de nombres […] prend le nom de série lorsqu’on se propose d’étudier ce que devient, pour n infini, la somme […] de ses n premiers termes.. D'autres ne donnent pas de définition mais se contentent, d'introduire le « langage des séries », de définir ce que signifie étudier une série. Mais tous s'entendent sur le fait que : une série de terme général est définie par la donnée d'une suite ; la suite des sommes partielles de la série de terme général est la suite des sommes des n + 1 premiers termes de la suite , définie par Les termes sont aussi souvent numérotés à partir de 1, et parfois à partir d'un entier supérieur. ; la série de terme général est dite convergente quand la suite des sommes partielles est convergente, divergente quand celle-ci est divergente.
D'autres identifient la série de terme général à la suite de ses sommes partielles, mais en précisant immédiatement le vocabulaire qui reste identique : en particulier les termes de la série sont les .. Bourbaki, TG III.42, §6., tout en conservant ce vocabulaire, définit la série de terme général comme le couple constitué par la suite et la suite de ses sommes partielles, suivi par certains manuels d'enseignementComme , qui définit une série de façon équivalente, dans le cadre des séries sur les espaces vectoriels normés, comme la suite des couples formés du terme de la suite d'ordre n et de la somme partielle d'ordre n..
Jean-Pierre Kahane critique cette dernière définition qu'il juge « mauvaise » car le second terme du couple se déduit du premier, mais surtout car elle semble réduire les questions sur les séries à celle de la convergence et de la divergence, et néglige les cas où, par exemple, il n'y a pas de notion évidente de somme partielle, ce texte est accessible sur la page indiquée sous le titre « Documents pédagogiques ».. Il préfère ne pas donner de définition mathématique des séries, celles-ci pouvant donner « matière à plusieurs définitions mathématiques ».
La suite des sommes partielles s'obtient par le procédé itératif suivant :
pour tout entier
Inversement, Il est possible de retrouver le terme général d'une série à partir de ses sommes partielles par les formules
On note souvent la série de terme général : .
Les séries numériques sont les séries dont les termes sont des nombres réels ou des nombres complexes. Il existe également des séries vectorielles, dont les termes sont des vecteurs d'un certain espace vectoriel. On peut ainsi étudier par exemple des séries de matrices ou des séries de fonctions.
Lien entre suite et série
Étudier une série revient à étudier la suite de ses sommes partielles. Inversement, la formule de télescopage
montre qu'étudier la suite de terme général revient à étudier la série de terme général (ou ). Il peut être plus intéressant, selon les cas, d'utiliser le langage des suites ou celui des séries.
Convergence et divergence Par définition, la série numérique est convergente si la suite des sommes partielles est convergente ; sa limite est alors appelée somme de la série, elle est notée , et une façon de calculer cette somme, un procédé de sommation de la série. Dans le cas contraire, la série est dite divergente.
Deux séries sont dites de même nature si elles sont toutes deux convergentes ou toutes deux divergentes.
Le fait qu'une série puisse être convergente résout beaucoup de problèmes, comme certains des paradoxes de Zénon. En revanche, il est rare qu'on sache calculer de façon explicite la somme d'une série. Hormis quelques calculs classiques, la théorie des séries a pour objectif de déterminer la nature d'une série sans calcul de la suite des sommes partielles, et éventuellement de procéder à un calcul approché de la somme.
Si la série converge, alors son terme général tend vers zéro. Autrement dit, si la série est convergente, alors la suite converge vers 0. En effet, si l'on suppose que la série converge et a pour somme S, alors on a . La réciproque est fausse ; la série harmonique en est un contre-exemple : elle diverge alors que son terme général tend vers zéro. Si une série ne respecte pas cette condition, on dit qu'elle diverge grossièrement. Lorsque le terme général d'une série ne tend pas vers 0, celle-ci est dite trivialement ou grossièrement divergente. Exemples : est une série grossièrement divergente ; en revanche, pour , bien que le terme général tende vers zéro, la série associée est divergente.
Convergence absolue et semi-convergence On parle de série absolument convergente lorsque la série de terme général est elle-même convergente ( signifiant ici « valeur absolue de » si est un nombre réel, « module de » si est un nombre complexe, norme s'il s'agit d'un élément d'un espace vectoriel normé). Si la série est convergente sans être absolument convergente, alors on parle de série semi-convergente.
Reste d'une série convergente
Si la série est convergente, alors pour tout entier naturel , la somme existe, et . La quantité est la somme des termes de la série à partir du terme d'indice . La quantité s'appelle le reste d'ordre de la série . Pour une série convergente, et pour tout naturel , la somme de la série (i.e. la somme de tous les termes) est égale à la somme partielle des premiers termes et le reste d'ordre :
Ainsi, si l'on sait borner le reste , le calcul de la somme partielle donne une valeur approchée de la somme totale , avec une incertitude connue.
Étude de la nature des séries numériques
Calculs explicites
Il est rare de pouvoir calculer explicitement tous les termes de la suite des sommes partielles.