En mathématiques, le théorème de la dimension pour les espaces vectoriels énonce que deux bases quelconques d'un même espace vectoriel ont même cardinalitéN. Bourbaki, Algèbre, chap. II, p. A-II-96, Théorème 3. Serge Lang, , 1965 , , 3... Joint au théorème de la base incomplète qui assure l'existence de bases, il permet de définir la dimension d'un espace vectoriel comme le cardinal (fini ou infini) commun à toutes ses bases.
Énoncé
(Donc par symétrie, deux bases quelconques ont même cardinal.)
Démonstration
Soient L libre et G génératrice de E, montrons que |L| ≤ |G|.
Cas G finie Notons n = |G|. D'après le lemme de Steinitz, pour toute partie finie de L de cardinal m, on a m ≤ n. Par conséquent, L elle-même est (finie et) de cardinal inférieur ou égal à n.
Cas G infinie Pour tout ℓ ∈ L, choisissons une partie finie f(ℓ) de G telle que ℓ appartienne au sous-espace engendré par f(ℓ). Pour tout K appartenant à l'ensemble Fin(G) des parties finies de G, on a (d'après le cas fini ci-dessus) |f({K})| ≤ |K| < ℵ donc (d'après les propriétés générales des cardinaux)
: cette démonstration pour le cas infini utilise l'axiome du choix, mais il existe des démonstrations n'utilisant que le lemme des ultrafiltres..
Notes et références
dimension Theoreme