En analyse fonctionnelle, le théorème de -Serrin concerne l'équivalence de deux définitions des espaces de Sobolev.
Définitions préalables Les notations sont celles de l'article espace de Sobolev.
Soit Ω un ouvert quelconque (non vide) de ℝ. Deux concepts qui sont souvent utilisés dans la théorie des équations aux dérivées partielles et le calcul des variations sont les espaces H et les espaces W.
Plus précisément, si est un entier naturel, un réel tel que et est un multi-indice
W(Ω) est l'espace de Sobolev :
muni de la norme :
où est une dérivée partielle de au sens des distributions et désigne la norme de l'espace de Lebesgue (Ω).
H(Ω) est l’adhérence dans W(Ω) de C(Ω) ∩ W(Ω) ou encore le complété de l'espace vectoriel normé
avec
où est une dérivée partielle de au sens classique ( ∈ C(Ω)).
Énoncé Pour une démonstration, voir ou .On a le même résultat en remplaçant, dans la définition de H(Ω), C(Ω) par C(Ω) : cf. .
Remarque Avant la publication de ce théorème, l'égalité H = W était démontrée pour des ouverts Ω particuliers (satisfaisant à certaines propriétés de régularité) Voir, par exemple, . .
Notes et références
Meyers Serrin