En mathématiques et plus particulièrement en analyse réelle, l'intégrale de Riemann est une façon de définir l'intégrale, sur un segment, d'une fonction réelle. En termes géométriques, cette intégrale s'interprète comme l'aire du domaine sous la courbe représentative de la fonction, comptée algébriquement.
Le procédé général utilisé pour définir l'intégrale de Riemann est l'approximation par des fonctions en escalier, pour lesquelles la définition de l'aire sous la courbe est aisée. Les fonctions, définies sur un segment, pour lesquelles cette définition est possible sont dites intégrables au sens de Riemann (ou Riemann-intégrables). C'est le cas notamment des fonctions monotones ou continues par morceaux, ou même seulement réglées.
La notion d'intégrale établie par Bernhard Riemann se base sur ce que l'on appelle aujourd'hui les sommes de RiemannL'intégrale de Riemann a été introduite dans l'article de Bernard Riemann « » (Sur la représentabilité d'une fonction par une série trigonométrique). Riemann a présenté ce travail à l'université de Göttingen en 1854 comme mémoire d'habilitation. Il a été publié en 1868 dans les Actes de la Société royale des sciences de Göttingen, vol. 13, p. 87-132, . Pour la définition par Riemann de son intégrale, voir la section 4, « » (Sur le concept d'une intégrale définie et le domaine de sa validité), p. 101-103. Une traduction du mémoire de Riemann a été présentée par Richard Dedekind : ... Le mathématicien Gaston Darboux a ultérieurement défini une notion d'intégrale, quant à elle, basée sur les sommes de Darboux (ou de manière équivalente sur les fonctions en escalier)G. Darboux, « Mémoire sur les fonctions discontinues », dans Ann. Sci. E.N.S., vol. 4, 1875, p. 57-112.. Il s'avère que ces deux approches donnent exactement la même notion d'intégrale.
Définition
Soit un segment inclus dans . Une subdivision de ce segment est la donnée d'une suite finie de points telle que . Une subdivision marquée est la donnée d'une telle subdivision et d'une suite associée telle que pour tout . Le pas d'une subdivision est la distance maximale entre deux consécutifs, c'est-à-dire, . On note l'ensemble des subdivisions marquées de dont le pas est inférieur ou égal à .
La définition originelle par Riemann de son intégrale utilisait les sommes de Riemann :
Précisons le sens de la limite évoquée dans la définition. Dire qu'une fonction est intégrable d'intégrale (au sens de Riemann) c'est dire que, pour tout réel , il existe un réel tel que pour toute subdivision marquée de pas inférieur ou égal à on a
Une approche équivalente à celle de Riemann présentée ci-dessus passe par l'intégrale de Darboux. La définition donnée par Riemann est équivalente à celle de Darboux même si cela n'est pas immédiat et nécessite une preuve. L'approche de Darboux pour définir l'intégrale de Riemann est préférée à celle originellement effectuée par ce dernier dans de nombreux ouvrages d'introduction à l'analyse.
Propriétés Bornes Toute fonction Riemann-intégrable est bornéePresque tous les ouvrages ne définissent l'intégrabilité et l'intégrale de Riemann que pour des fonctions a priori bornées, mais toute fonction qui est intégrable au sens (de Riemann ou de Darboux) donné ici est nécessairement bornée : cf. ou , en particulier l'exercice 4.1 p. 171..
À noter que, dans le formalisme de Darboux, les fonctions sont supposées être bornées dès le début afin de garantir l'existence des sommes de Darboux. Cette hypothèse n'est pas nécessaire avec le formalisme de Riemann. Puisque ces deux approches sont équivalentes, il fallait donc bien que l'intégrabilité au sens de Riemann implique l'existence de bornes finies.
Restrictions L'intégrale de Riemann se comporte bien vis-à-vis de la restriction d'une fonction : si une fonction est Riemann-intégrable sur un segment, alors elle l'est encore sur tout segment inclus..Réciproquement, si une fonction est bornée et intégrable sur tout segment strictement inclus, alors elle est intégrable sur le segment entier..La première propriété est pratique car permet de considérer les intégrales restreintes pour tout et toute fonction Riemann-intégrable. Cela permet de justifier l'existence des intégrales mentionnées dans la relation de Chasles. Cela permet aussi de justifier l'existence de la fonction pour une fonction Riemann-intégrable.
Relation de Chasles La relation de Chasles permet de découper une intégrale en plusieurs morceaux. Cela peut s'avérer utile dans l'étude d'une intégrale en autorisant à observer l'intégrale sur plusieurs parties plus petites sur lesquelles l'analyse est simplifiée.
Un simple raisonnement par récurrence implique que la relation de Chasles peut être répétée plusieurs fois si l'on décompose le segment en une subdivision. Plus précisément, si est Riemann-intégrable et si est une subdivision de alors
Linéarité et stabilité Une propriété clef de l'intégrale est sa linéarité.L'intégrabilité au sens de Riemann est donc stable par combinaison linéaire. Elle est aussi stable par produit : le produit de deux fonctions Riemann-intégrables est Riemann-intégrable.Bien que le produit soit intégrable, il est faux de dire que l'intégrale du produit est égal au produit des intégrales. Par exemple si l'on prend et alors ces deux fonctions sont intégrables sur mais
Un produit de fonction peut être intégrable sans qu'aucun membre du produit ne le soit. Par exemple, en prenant l'indicatrice des rationnels et , on a que ni , ni ne sont intégrables sur , pourtant leur produit, qui vaut 0, est bien intégrable sur ce segment.
La stabilité par produit est spécifique à l'intégrale de Riemann sur un segment. Cette propriété n'est en général pas vérifiée pour l'intégrale de Riemann généralisée à un intervalle quelconque. Elle ne l'est pas non plus pour l'intégrale de Lebesgue. Par exemple si l'on prend sur alors ces fonctions sont intégrables sur au sens des intégrales généralisées de Riemann et aussi au sens des intégrales de Lebesgue, cependant leur produit ne l'est pas.
La Riemann-intégrabilité est aussi stable par composition avec une fonction continue. Positivité, croissance et Inégalité triangulaire L'intégrale de Riemann est positive dans le sens où l'intégrale d'une fonction Riemann-intégrable positive est positive. De manière plus générale, l'intégrale de Riemann est croissante, c'est-à-dire :
La positivité vient simplement en utilisant la croissance avec et en constatant que l'intégrale de la fonction nulle est nulle par linéarité.
L'inégalité du théorème suivant peut s'apparenter à l'inégalité triangulaire pour l'intégrale de Riemann. En effet, par une simple récurrence, l'inégalité triangulaire classique implique que pour une somme finie de nombres réels on a En passant de la somme à l'intégrale (qui s'interprète comme une sorte de somme infinie) on obtient alors le théorème suivant :Ce théorème s'obtient en appliquant la propriété de croissance, en observant que et .
Le fait que l'intégrabilité de équivaille à celle de reste vrai, par définition, pour les intégrales généralisées de Riemann à un intervalle quelconque et pour l'intégrale de Lebesgue. En revanche dire que l'intégrale impropre de Riemann de existe et est finie n'implique pas forcément que est intégrable sur un intervalle non fermé. Un exemple connu est la fonction qui admet une intégrale impropre de Riemann finie sur mais n'y est pas intégrable. Pour l'intégrale de Lebesgue, l'intégrabilité équivaut encore à l'existence d'une intégrale finie.
Théorèmes de convergence
L'intégrale d'une limite uniforme est la limite des intégrales. Plus précisémentEncore une fois, cette propriété est spécifique à l'intégrale de Riemann sur un segment. Elle devient fausse en général sur un intervalle quelconque lorsque l'on considère l'intégrale de Riemann généralisée ou encore l'intégrale de Lebesgue. Par exemple les fonctions où sont bien intégrables sur pour tout entier et convergent uniformément vers . Cependant cette dernière n'est pas intégrable sur (ni au sens de Riemann généralisé, ni au sens de Lebesgue). Le théorème suivant peut s'apparenter au théorème de convergence dominée (TCD) pour l'intégrale de Lebesgue. Seule la notion de convergence simple est requise (ce qui est plus faible que la notion de convergence uniforme). Il faut cependant ajouter une condition de domination pour obtenir la convergence des intégrales. La différence avec le TCD est que la limite est ici supposée Riemann-intégrable alors qu'elle n'a pas besoin d'être supposée Lebesgue-intégrable dans le TCD..Pour toute intégrale de la forme avec :
Si , alors : Si , alors :
Fonctions en escalier et fonctions réglées
Une fonction en escalier sur un segment est une fonction telle qu'il existe une subdivision de ce segment telle que est constante, sur chaque sous-intervalle de la subdivision. Pour une telle fonction on a
où correspond à la valeur prise par sur .
En particulier, une fonction constante pouvant être vue comme une fonction en escalier d'une seule marche, on a
Une manière de définir l'intégrale de Darboux, qui est équivalente à l'intégrale de Riemann, est de passer par les fonctions en escalier pour lesquelles on définit l'intégrale avec la formule ci-dessus. Cette formule peut donc être vue comme une définition ou une propriété en fonction du formalisme choisi.
Comme le stipule le théorème de convergence uniforme, toute limite, pour la norme uniforme, d'une suite de fonction Riemann-intégrable sur un segment est Riemann-intégrable. Les fonctions réglées, constituant exactement toutes les limites uniformes possibles de suites de fonctions en escaliers, sont donc toutes Riemann-intégrables. En particulier, toute fonction continue ou juste continue par morceaux sur (ou même seulement bornée et continue sauf en un nombre fini de points) est Riemann-intégrable, ainsi que toute fonction monotone (ou même seulement monotone par morceaux). Théorèmes fondamentaux de l'analyse
Soit une fonction Riemann-intégrable. On définit la fonction
De manière générale la fonction est continue, elle est même lipschitzienne..Il est faux en général de dire que est dérivable partout, en revanche elle l'est en tout point de continuité de . Cela aboutit au premier théorème fondamental de l'analyse.Si est continue sur alors est une primitive de . Si est réglée, alors son ensemble de discontinuité est au plus dénombrable et donc est une primitive généralisée de . De manière générale, puisque est Riemann-intégrable, son ensemble de discontinuité est négligeable pour la mesure de Lebesgue et donc est dérivable sur un ensemble de complémentaire négligeable. Le deuxième théorème fondamental de l'analyse donne une manière efficace de calculer l'intégrale d'une fonction dès lors que l'on connaît l'une de ses primitives.
Théorèmes de la moyenne
Les deux théorèmes classiques suivants sont dus au mathématicien français Pierre-Ossian Bonnet..
Intégration par parties
Le théorème suivant est un outil indispensable de calcul d'intégrales.
Changement de variable
Le théorème suivant est aussi un outil incontournable de calcul d'intégrales. Structure Plusieurs des propriétés ci-dessus (à savoir : linéarité, stabilité par produit, positivité et théorème de convergence uniforme) peuvent être synthétisées par le théorèmes suivant.
Il est fréquent de doter l'espace des fonctions continues sur un segment d'un produit scalaire associé à l'intégrale.
Il est nécessaire de considérer l'ensemble des fonctions continues et pas seulement des fonctions Riemann-intégrables pour que la fonction soit définie (c'est-à-dire ). En effet on a le résultat suivantSans l'hypothèse de continuité, cela devient faux. Par exemple la fonction qui vaut 1 en 0 et 0 partout ailleurs est positive et intégrable sur n'importe quel segment et son intégrale y est nulle. Cependant cette fonction n'est pas constamment nulle.
Généralisations
Fonctions à valeurs dans ℂ ou ℂ