Le tapis de Sierpiński ou la carpette de Sierpiński (1916), du nom de Wacław Sierpiński, est une fractale obtenue à partir d'un carré. Le tapis se fabrique en découpant le carré en neuf carrés égaux avec une grille de trois par trois, et en supprimant la pièce centrale, puis en appliquant cette procédure indéfiniment aux huit carrés restants.
La dimension fractale ou dimension de Hausdorff du tapis est égale à , car à chaque étape on construit 8 répliques de la figure précédente, chacune étant sa réduction par 3 (voir ).
La surface du tapis est nulle de mesure de Lebesgue : à l'infini, la surface du carré est intégralement « vidée » .
C'est une généralisation de l'ensemble de Cantor à la dimension 2. Des généralisations en dimensions supérieures sont possibles, et des fractales peuvent être obtenues dans un cube (on l'appelle alors éponge de Menger ou éponge de Menger-Sierpiński) ou dans un (hyper-)cube en dimension supérieure N.
Calcul de l'aire du tapis de Sierpiński
En notant la longueur du côté du carré et l'ordre de la construction, la formule suivante donne l'aire du tapis :
Par exemple, un carré de de côté à l'ordre 2 donne un tapis d'aire
m².
Plus l'ordre augmente, plus la surface diminue et tends vers zéro à l'infini.
Image par une inversion On peut construire l'image du tapis de Sierpiński par une inversion dont le centre est l'isobarycentre de la fractale. On obtient un résultat semblable au suivant pour la cinquième itération :
Voir aussi
Articles connexes
Triangle de Sierpiński Liste de fractales par dimension de Hausdorff
Liens externes
Projet du tapis de Sierpiński
Sierpinski (Tapis)