En mathématiques, un ensemble rectifiable est une généralisation pluridimensionnelle de courbe rectifiable. Ce sont les objets différentiels de la théorie géométrique de la mesure, fondée par Herbert Federer.
Définitions Une partie de est m-rectifiable s'il existe une famille dénombrable d'applications de classe telle que
où est la mesure de Hausdorff de dimension .
est purement non m-rectifiable si pour toute application de classe ,
On obtient des définitions équivalentes en remplaçant par application lipschitzienne.
Propriétés
Un exemple de partie purement non 1-rectifiable de est le produit de l'ensemble de Smith-Volterra-Cantor par lui-même.
Les parties rectifiables sont une généralisation, du point de vue de la théorie de la mesure, des sous-variétés. Par exemple, on peut définir la notion de sous-espace (de dimension m) presque tangent en un point de A, et montrer que A est m-rectifiable si et seulement si, en -presque chacun de ses points, elle admet un tel sous-espace presque tangent.
Toute partie de -mesure finie est réunion d'une partie m-rectifiable et d'une partie purement non m-rectifiable (dont l'intersection est nécessairement -négligeable).
Théorème de projection de Besicovitch-Federer : si une partie A, de -mesure finie, est purement non m-rectifiable, alors pour presque tout sous-espace P de dimension m, le projeté orthogonal de A sur P est -négligeable.
Référence
Catégorie:Théorie géométrique de la mesure