Les lois de Kepler ont été publiés en 1609 et 1619 à partir des observations de Tycho Brahe à la fin du et de leur analyse poussée par Johannes Kepler dans les décennies qui ont suivi.

En 1687 dans les Philosophiae naturalis principia mathematica, Isaac Newton introduit la force de gravitation, qui se veut être à la fois une explication aux mouvements des planètes, et à la pesanteur sur Terre. Le problème exposé ici est de démontrer que la seule expression de la loi universelle de la gravitation, combinée au principe fondamental de la dynamique, fournit une justification des lois empiriques de Kepler. Il fut résolu par Newton avec les premières avancées du calcul infinitésimal et intégral.. C'est cette démonstration à la fois physique, algébrique et géométrique qui est développée dans l'article, en utilisant des conventions d'écriture modernesUne autre démonstration géométrique a été donnée par Richard Feynman, durant ses cours. Il ne l'a pas publiée, mais David L. Goodstein et Judith R. Goodstein l'ont fait en 1996 (Feynman’s lost lecture: The motion of planets around the Sun, Norton, 1996), cette démonstration géométrique étant reprise par Brian Beckman en 2006 dans The Journal of Symbolic Geometry, volume 1, qui cite la référence précédente. Une traduction française de la démonstration de Feynman, avec des explications détaillées, figure dans R. Feynman, D. et J. Goodstein, Le mouvement des planètes autour du Soleil : Le cours perdu de Feynman, Cassini, 2009.. Celle plus exclusivement mathématique basée sur le calcul différentiel se trouve dans les notes.

Mais le problème à deux corps n'est pas abordé dans les démonstrations qui suivent où la masse du corps en mouvement est considérée comme négligeable par rapport à celle du corps central, ce qui est le cas dans le système solaire. Le barycentre entre la planète et le Soleil est donc confondu avec le centre du Soleil et le référentiel héliocentrique est considéré comme immobile. Dans un problème plus difficile à deux corps l'astre le plus massif est lui aussi en mouvement autour du barycentre et l'étude des trajectoires impose de définir une planète fictive.

Conventions et notations pour démontrer les trois lois de Kepler vignette|Les trois lois de Kepler

On prend donc le Soleil comme origine du référentiel, l'axe x sur l'axe des apsides de l'ellipse dans la direction correspondant à la distance la plus petite entre le Soleil et la planète, l'axe y la perpendiculaire située sur le paramètre de l'ellipse, et l'axe z la perpendiculaire au plan de l'écliptique passant par le Soleil. : la masse du Soleil. : la masse de la planète. : la position du Soleil. C'est l'origine du référentiel. : la position de la planète. vignette|Représentation du mouvement d'une planète: l'instant où la planète se trouve le plus proche du Soleil. : la position de la planète au temps . Elle s'appelle le périhélie. C'est le point le plus proche du Soleil. : la longueur du grand rayon (ou demi-grand axe). : la longueur du petit rayon (ou demi-petit axe). : la distance séparant le centre de l'ellipse à un des foyers.

: le vecteur allant du Soleil à la planète. : la distance du Soleil à la planète. : le vecteur allant du Soleil à la planète au temps . : la vitesse de la planète, dérivée du vecteur position. vignette|Schéma et notations pour démontrer la loi des aires : le vecteur accélération de la planète : la vitesse de la planète au temps . : la force d'attraction de la planète par le Soleil. : l'angle entre les vecteurs et . : l'aire délimitée par ces deux vecteurs et la trajectoire. : l'angle entre et . : l'aire du triangle infinitésimal délimité par ces deux vecteurs. : la vitesse aréolaire. : la vitesse angulaire de la planète. : l'angle entre les vecteurs et . : le moment cinétique relativement à l'origine où se trouve le Soleil. : la constante des aires ou la norme du moment cinétique spécifique. C.f. le produit vectoriel "" pour des informations sur cet opérateur.

Première partie de la première loi vignette|La force gravitationnelle du Soleil exercée sur la planète est toujours dirigée vers le Soleil.Dans un référentiel immobile par rapport au Soleil, la première partie de la première loi de Kepler dit que la trajectoire d'une planète se trouve dans un plan si le système est isolé. Cela résulte du fait que le Soleil attire la planète selon une force centrale. C'est-à-dire une force qui est toujours dirigée de la planète vers le Soleil.

En effet, étant données une position et une vitesse initiales, cela définit un plan. Selon nos conventions ci-dessus, c'est le plan passant par l'origine O, contenant les axes x et y.

Puisque la force est centrale, elle et l'accélération sont dans une direction se trouvant dans ce même plan. Donc les variations de vitesses et de positions et en définitive toute la trajectoire resteront dans ce même plan.

Deuxième loi, loi des aires thumb|La planète prendra le même temps à parcourir la trajectoire rouge qu'elle en prendra pour parcourir la trajectoire bleue car les aires A et B sont égales.

Démonstration par le moment cinétique Soit l'aire de la surface balayée par le rayon vecteur durant un temps . La seconde loi de Kepler dit que des aires égales sont balayées dans des temps égaux.

En dérivant le moment cinétique par rapport au temps, on obtient :

.

Donc le moment cinétique est un vecteur constant. Cela résulte du fait que la force est centrale (voir mouvement à force centrale).

D'autre part : où , et désigne l'angle entre et .

En effet, durant , le double de l'aire du triangle infinitésimalSi on considère que est presque égale à , alors le triangle infinitésimal est assimilable à une portion du cercle de rayon et son aire vaut aussi : , étant l'angle infinitésimal et la vitesse angulaire. Cela vérifie l'expression : . délimité par et vaut .

En conséquence : .

Variante par la formule de Green-Riemann vignette|Image d'archive de la loi des aires En notant la position du point M à l'instant t, l'aire balayée par le rayon vecteur pendant le temps t vaut d'après la formule de Green-RiemannOn peut retrouver cette formule en calculant le produit vectoriel précédent : , .

En remarquant que : ,

il vient : , soit avec les coordonnées polaires :

.

Or la vitesse angulaire de la planète est la dérivée de l'angle soit , et .

Alors , d'où finalement : .

En définitive cette démonstration utilise aussi l'invariabilité du moment cinétique. Il est possible aussi de démontrer l'invariabilité de l'expression , appelée constante des aires , en calculant la dérivée seconde du vecteur soit d'abord la vitesse puis l'accélérationOn fait donc deux dérivations du vecteur position pour obtenir d'abord le vecteur vitesse puis le vecteur accélération . Mais auparavant on procède à un changement de repère en choisissant le vecteur unitaire radial et le vecteur unitaire perpendiculaire . Le vecteur position s'écrit alors plus simplement . On peut dériver les vecteurs tournants et du repère de Frenet : et . Ce qui permet d'écrire puis . Or une nouvelle fois on sait que le vecteur accélération est radial donc la composante sur la normale est nulle : . En multipliant par on trouve : , ce qui démontre l'invariabilité de . Comme l'aire du triangle infinitésimal vaut , alors l'aire balayée par le rayon en fonction du temps est :..

Démonstration géométrique vignette|Démonstration géométrique de la loi des aires. Les triangles ABZ, BCZ et BC'Z ont la même aire car AB = BC et (BZ) est parallèle à (CC'). Δv est le vecteur correspondant à la force exercée par le corps central sur le point B. Une autre démonstration utilise la loi d'égalité des aires des triangles ayant même base et même hauteur. On part d'un mouvement rectiligne uniforme d'un astre selon la loi de conservation de l'énergie. Soit un point O quelconque et M(t) la position de l'astre à l'instant t, le triangle reliant les points O, M(t) et M(t+Δt) a la même aire que celui reliant les points O, M(t+Δt), M(t+2Δt), et ainsi de suite car la distance de la base est toujours la même, égale à vΔt. Si maintenant le point O est un astre massif comme le Soleil, la loi de Newton indique que ce corps exerce une force centrale sur l'objet mobile qui va alors être dévié de sa trajectoire. La vitesse de ce dernier au cours de la même durée Δt va être la somme vectorielle de celle qu'il aurait eu sans l'action du Soleil et d'un vecteur dirigé vers le SoleilCe vecteur est lié à l'accélération provenant de la force de gravité exercée par le Soleil. On considère d'abord que cette attraction est ponctuelle à intervalles de temps réguliers. Puis en réduisant la durée de chaque intervalle on se rapproche de la réalité où la force s'exerce de manière continue.. Et là encore la construction géométrique montre que quelle que soit la norme de ce vecteur centripète l'aire du triangle reste égale car il y a deux parallèles. Si l'intervalle de temps Δt est décomposé en intervalles de plus en plus petits δt, alors la somme des aires de tous les triangles de plus en plus fins pointés sur O devient une bonne approximation de l'aire balayée par le rayon. On retrouve la définition du calcul infinitésimal et intégralL'aire balayée par le rayon est une intégrale ou la limite de la somme d'une infinité de triangles de même aire ayant un côté infinitésimal égal à .. Au cours d'une même variation de temps Δt, l'aire balayée reste donc toujours égale.

Deuxième partie de la première loi vignette|Comparaison des vitesses entre un mouvement circulaire et elliptique de même période

La deuxième partie de la première loi de Kepler dit que, dans un référentiel immobile par rapport au Soleil, la trajectoire d'une planète est elliptique, un foyer étant le Soleil. En réalité pour être exact, le foyer devrait être au centre de gravité du système Soleil-planète.

Mais là encore on considère comme négligeable la masse m de la planète par rapport à la masse M du Soleil, et on place le centre de gravité au centre du Soleil. La trajectoire étudiée est donc seulement celle de la planète, ce qui est une simplification par rapport à un problème à deux corps. Il s'agit de démontrer que cette trajectoire est une ellipse.

Le principe fondamental de la dynamique s'écrit : vignette|Découpage de l'ellipse en douze angles égaux en partant du foyer. La différence vectorielle des vitesses entre deux points consécutifs a une norme constante et elle est visualisable sur la bissectrice de chaque angle en direction du Soleil. où et .

Autrement dit, l'intensité de la force gravitationnelle est inversement proportionnelle au carré de la distance.

Par changement de variable, on a : .

Rappelons l'expression de la constante des aires :

.

En combinant ces deux relations, on obtient : vignette|Hodographe des vitesses dont les vecteurs bleus sont placés sur la même origine. Le vecteur invariant rouge a pour norme eGMm/L, partant de l'origine des vitesses jusqu'au centre du cercle. Le rayon vecteur vert du cercle a pour norme GMm/L. La somme des deux vecteurs est la vitesse. .

D'où en intégrant par rapport à : ,

car d'après le repère de Frenet : ,

étant le vecteur unité perpendiculaire à dans le plan de la trajectoire, dirigé dans le sens le plus proche de celui de la vitesse, et étant un vecteur constant colinéaire de et relié au vecteur de Runge-Lenz. Il est appelé parfois vecteur de Hamilton.