En mécanique du point, un mouvement à force centrale est le mouvement d'un point matériel soumis uniquement à une force centrale, c'est-à-dire une force toujours dirigée vers le même point noté appelé centre de force.
Ce type de mouvement est une modélisation de certains phénomènes physiques : il n'est pas rigoureusement présent dans la nature, mais certains mouvements s'en rapprochent. Par exemple, on peut considérer que la Terre est soumise à une force centrale de la part du Soleil. Par ailleurs, lorsqu'on utilise une description classique de l'atome, on peut considérer que le mouvement des électrons est à force centrale autour du noyau.
L'étude mathématique de ce type de mouvements permet d'obtenir quelques résultats généraux. On peut montrer par exemple que la trajectoire est contenue dans un plan, que la vitesse aréolaire est constante
Historique Le problème du mouvement à force centrale fut résolu en premier par Isaac Newton en 1687. Newton démontreNewton, Principes mathématiques de la philosophie naturelle, Livre I, section II, prop.I, dans la traduction de du Châtelet en particulier que la trajectoire est contenue dans un plan passant par le centre de force et perpendiculaire au moment cinétique, qui est alors constant. C'est d'ailleurs initialement dans le sens inverse que Newton l'a démontré : le moment cinétique étant démontré constant, cela implique que la trajectoire est plane. Cette trajectoire est décrite selon la seconde loi de Kepler dite aussi lois des aires : des aires égales sont balayées dans des temps égaux.
Robert Hooke a résolu le cas particulier dit « de Hooke », où la force centrale est proportionnelle à la distance séparant le centre de force du point en mouvement (voir ellipse de Hooke).
Jacques Binet exprima, au travers de ses formules, la vitesse et l'accélération d'un point animé d'un mouvement à force centrale. Ces formules permettent, par exemple, d'obtenir les trajectoires elliptiques des planètes, redémontrant ainsi la première loi de Kepler.
Exemples d'études Quelques cas particuliers ont été étudiés mathématiquement : le cas d'une force de rappel élastique : voir ellipse de Hooke ; les cas des forces proportionnelles à pour valant -5, -3, 0, 1/3, 3/2, 5/3, 7/3, 5/2, 4, 5 ou 7 sont dits résolubles ; le mouvement des planètes : voir lois de Kepler ; la diffusion Rutherford peut se traiter via la symétrie de Corinne ; la force électrostatique.
Définition Un mouvement à force centrale est le mouvement d'un point matériel soumis à une force passant par un point fixe .
La trajectoire est plane (voir plus loin) : deux coordonnées suffisent à décrire le mouvement dans ce plan. La conservation de l'énergie permet de réduire le mouvement à une quadrature près.
Planéité de la trajectoire Le théorème du moment cinétique appliqué au centre de force dans un référentiel galiléen énonce que la dérivée du moment cinétique au point est le produit vectoriel du rayon vecteur et de la force : , puisque les deux vecteurs sont colinéaires.
Par conséquent, le moment cinétique est constant au cours du mouvementFondamentalement, le fait que le moment cinétique soit constant vient du fait que le problème est invariant sous l'action d'une rotation autour de et que l'on peut appliquer le théorème de Noether au groupe SO(3)..
Par définition du moment cinétique, cela signifie que est constant, donc que le vecteur position et la quantité de mouvement du point M sont à tout instant perpendiculaires au vecteur de direction constante. La trajectoire est donc plane : elle est entièrement contenue dans le plan contenant le centre attracteur , et orthogonal au moment cinétique .
Loi des aires On vient de voir que la trajectoire de la particule restait dans un plan fixe d'origine . En passant aux coordonnées polaires et , dans ce plan, on peut écrire :
donc , où est le vecteur unitaire tel que est un repère orthonormé direct ; puis, , dans laquelle est le vecteur unitaire orthogonal à la trajectoire tel que est un repère orthonormé direct.
De cette dernière relation, on tire la valeur de la norme, constante, du moment cinétique : . Or, l'aire balayée par le rayon vecteur , pendant un temps infinitésimal est .
Cette loi, sous la forme , qui exprime que la vitesse aréolaire est constante, est appelée loi des aires. Énoncée comme constatation empirique en 1609 par Johannes Kepler au sujet du mouvement des planètes autour du Soleil (voir lois de Kepler), c'est donc en réalité une propriété générale de tout mouvement à force centrale.
Équation de Kepler
vignette|Courbes de l'équation de Kepler La loi des aires implique notamment que la vitesse angulaire garde un signe constant, autrement dit que le point matériel tourne toujours dans le même sens. En particulier est fonction strictement monotone du temps. Il existe donc une fonction réciproque . C'est-à-dire qu'il est possible de déterminer le temps mis par le solide pour tourner d'un angle donné autour du point central. C'est l'équation de Kepler qui exprime l'anomalie moyenne , proportionnelle au temps, en fonction de l'anomalie excentrique , reliée à l'anomalie vraie : . Mais effectuer l'inverse donc exprimer l'anomalie vraie en fonction du temps est plus difficile et nécessite des opérations complexes comme les développements limités. Ce fut un travail notamment de Legendre, puis Cauchy (résolution de l'équation de Kepler).
Vitesse et accélération en coordonnées polaires Le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position : ,
où et forment une base tournante, c'est-à-dire et . Les vecteurs et forment une base orthonormée cartésienne fixe du plan de la trajectoire. Elle est placée sur le centre d'attraction avec dirigé vers le périastre l'origine des angles et à angle droit dans le sens du mouvement.
La dérivée d'un vecteur unitaire tournant est un vecteur unitaire tourné d'un angle droit dans le sens du mouvement et multiplié par la dérivée de l'angle c'est-à-dire la vitesse angulaire . On procède de la même façon pour exprimer le vecteur accélération en coordonnées polaires :
.
Du fait que l'accélération est radiale, la projection de sur est nulle, on a donc . En notant que , et donc que , on conclut que le paramètre est bien constant, ce qui justifie son appellation de constante des aires.
Formule polaire du rayon La projection de sur est égale à l'opposée de l'accélération ce qui donne : .
La résolution de cette équation différentielle donne l'équation polaire d'une conique : , avec le paramètre de l'ellipse, l'excentricité et l'angle depuis le périastre.
On peut aussi écrire : .
Alors l'intégrale par rapport à donne une expression pour la vitesse comme étant la somme de deux vecteurs de norme constante, l'un mobile et l'autre fixe noté colinéaire de la vitesse maximale au périastre. L'hodographe est une illustration de cette somme vectorielle. Par la suite une projection orthogonale sur permet de trouver la formule polaire du rayon : , avec .
Expression de l'énergie cinétique, effet centrifuge L'énergie cinétique du point matériel M se décompose en deux termes (Leibniz, 1695) :
le premier est celui d'une particule de masse m effectuant un mouvement unidimensionnel (selon la direction de r) ; le second est analogue à une énergie potentielle coulombienne répulsive qui agit comme une force centrifuge. La démonstration part de l'expression de la vitesse : . Puis comme , on obtient : .
Énergie potentielle est l'énergie potentielle égale à , avec . Sa variation est l'opposée du travail de la force gravitationnelle puisque celle-ci est conservative : .
Énergie potentielle effective vignette|Courbe de l'énergie potentielle effective D'après la loi de conservation de l'énergie, l'énergie totale est une constante. Compte tenu de l'expression précédente de l'énergie cinétique, cette énergie totale se met sous la forme : où est appelée l'énergie potentielle effective.
Le phénomène est donc analogue à un mouvement unidimensionnel d'une particule fictive de masse m dans un potentiel . Ce potentiel fait apparaître, en plus de V, l'effet centrifuge introduit plus haut. Cela correspond donc à une compétition entre deux forces : par exemple, dans le cas du mouvement d'une planète, il y a compétition entre l'attraction vers le soleil, et l'effet centrifuge.
Cas d'un champ attractif Dans le cas d'un champ attractif, le potentiel effectif présente un puits de potentiel : il est fortement répulsif à courte distance d'après la "barrière centrifuge", et attractif à longue distance. Et comme est toujours positif, on a nécessairement l'inégalité suivante : , où est la valeur minimale prise par le potentiel effectif (à la distance ).
Le mouvement est alors différent selon les valeurs de . Si , le corps peut s'éloigner à l'infini (mouvement non-borné)Cela exclut tout potentiel attractif qui ne tend pas vers une constante à l'infini.. Si , le mouvement est borné entre les positions et . Le mouvement radial (selon r) est alors périodique : il présente une oscillation entre et . Si , la trajectoire est circulaire de rayon quelle que soit . Si , le mouvement est impossible. En fait, dans le cas du champ coulombien attracteur, cette situation correspondrait à une énergie mécanique initiale insuffisante pour "satelliser" la particule.
Expression de l'énergie mécanique La formule de l'énergie mécanique ne dépend pas de l'excentricité mais du grand axe. Pour le démontrer on part de la définition de l'énergie mécanique qui est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle :
.
La résolution de cette équation différentielle est une autre manière de démontrer la formule polaire de Pour cela on effectue un changement de variable en notant . L'équation s'écrit alors . L'énergie mécanique est constante donc sa dérivée est nulle : avec . Cette équation admet une solution : avec ..
En substituant cette formule polaire dans l'équation on obtient :
.
En prenant le premier terme s'annule et on peut calculer la valeur de l'énergie mécanique puisqu'elle est constante :
,.
Pour une ellipse et donc ,
pour une hyperbole et donc ,
pour une parabole donc et pour un cercle donc avec .
On en déduit une expression générale pour la vitesse :
, soit pour une ellipse , pour une hyperbole , une parabole et un cercle .
Expressions générales des équations horaire et polaire Le mouvement à force centrale conservative possède, dans le plan, deux degrés de liberté : les coordonnées r et dans le plan du mouvement. De plus il existe deux constantes du mouvement : le moment cinétique et l'énergie mécanique . Le problème est dit résoluble à une quadrature prèsVoir Landau et Lifchitz, Physique théorique T1: Mécanique, Française, Ellipses-Marketing, 1994..
La solution peut s'écrire, soit par une équation horaire (r(t)), soit par une équation polaire (r(θ)). En effet, la loi des aires vue plus haut montre qu'il est possible d'interchanger t et θ. On étudie brièvement ces deux possibilités : en exprimant la conservation de l'énergie, on obtient une équation différentielle de Newton qui a pour solution : . Par inversion, il est possible d'obtenir la forme analytique de r(t). On peut alors utiliser cette valeur pour calculer θ(t) grâce à la constante des aires. Finalement, les lois horaires r(t) et θ(t) donnent l'équation paramétrée de la trajectoire en coordonnées polaires ; si l'on ne cherche que la trajectoire, et pas l'évolution du mouvement dans le temps, on peut éliminer le temps t pour le remplacer par θ en utilisant la loi des aires. On obtient alors une autre équation différentielle de Newton dont l'on peut aussi trouver la solution : . On obtient ainsi l'équation polaire r(θ), c’est-à-dire l'équation de la trajectoire en coordonnées polaires.