Dans cet article les vecteurs et leurs normes sont indiqués respectivement en gras et italique. Par exemple : .
En mécanique classique, le vecteur de Runge-Lenz ou invariant de Runge-Lenz est un vecteur utilisé principalement pour décrire la forme et l'orientation de l'orbite d'un corps astronomique autour d'un autre, comme dans le cas d'une planète autour d'une étoile.
Pour deux corps en interaction gravitationnelle, le vecteur de Runge-Lenz est une constante du mouvement, ce qui signifie qu'il prend la même valeur en n'importe quel point de l'orbite ; de manière équivalente on dit que le vecteur de Runge-Lenz se conserve. Plus généralement le vecteur de Runge-Lenz est conservé pour n'importe quel problème à deux corps interagissant par le biais d'une force centrale variant comme l'inverse du carré de la distance entre eux. De tels problèmes sont appelés « problèmes de Kepler » (traduit du russe).
L'atome d'hydrogène est un problème de Kepler puisqu'il comprend deux charges en interaction électrostatique, une autre force centrale en carré inverse de la distance. Le vecteur de Runge-Lenz fut essentiel dans les premières descriptions du spectre d'émission de l'atome d'hydrogène après le développement de l'équation de Schrödinger. Cependant cette approche est aujourd'hui très peu utilisée. En mécaniques classique et quantique, les grandeurs conservées correspondent généralement à une symétrie du problème. La conservation du vecteur de Runge-Lenz est associée à une symétrie inhabituelle : le problème de Kepler est mathématiquement équivalent à une particule se déplaçant librement sur une 3-sphère, ce qui implique que le problème est symétrique pour certaines rotations dans un espace à quatre dimensions. Cette symétrie supérieure résulte de deux propriétés du problème de Kepler : le vecteur vitesse se déplace toujours dans un cercle parfait et, pour une énergie totale donnée, tous les cercles de vitesse s'interceptent en deux mêmes points.
Le vecteur de Runge–Lenz est nommé d'après Carl Runge et Wilhelm Lenz. Il est également connu sous les noms de vecteur de Runge, de Lenz ou de Pauli ou de vecteur de Laplace (d'après Pierre-Simon de Laplace) bien qu'aucun de ces scientifiques ne l'ait découvert. Le vecteur de Runge-Lenz a en réalité été redécouvert plusieurs fois. Sa première utilisation remonte au moins à Jacob HermannJakob Hermann: Extrait d’une lettre de M. Herman à M. Bernoulli datée de Padoüe le 12. Juillet 1710. In: Histoire de l’Académie royale des sciences. Année M. DCC. X. Paris 1712, S. 519–521 (online)..
Le vecteur de Runge-Lenz est relié au vecteur excentricité utilisé en mécanique céleste et en astronautique. Il est aussi relié au vecteur de Hamilton. Plusieurs généralisations du vecteur de Runge-Lenz ont été définies pour tenir compte de la relativité générale, du champ électromagnétique et des différents types de forces centrales.
Contexte Une particule seule se déplaçant sous l'effet d'une force centrale conservative possède au minimum quatre constantes du mouvement : son énergie totale, et les trois composantes du vecteur moment cinétique L. La trajectoire de la particule est contenue dans un plan défini par sa quantité de mouvement initiale p (ou de manière équivalente par sa vitesse v) et par le rayon-vecteur r entre la particule et le centre de force (voir ci-dessous Figure 1).
Comme défini ci-dessous (voir Définitions mathématiques), le vecteur de Runge-Lenz A est toujours contenu dans le plan de la trajectoire pour une force centrale. Cependant A n'est constant que pour une force centrale en carré inverse. Pour de nombreuses forces ce vecteur A n'est pas constant mais change en norme et en direction ; si le champ de force centrale suit approximativement une loi en carré inverse, le vecteur A est approximativement constant en norme mais tourne lentement en direction. Un vecteur de Runge-Lenz généralisé se conservant peut être défini pour toutes les forces centrales mais le vecteur est alors une fonction compliquée de la position et n'est généralement pas exprimable de façon analytique.
Le plan de la trajectoire est perpendiculaire au vecteur moment cinétique L qui est constant ; ceci peut être exprimé par le produit scalaire r·L = 0 ; de la même façon, A étant contenu dans ce plan : A·L = 0.
Histoire des redécouvertes Le vecteur de Runge-Lenz A est une constante du mouvement du problème de Kepler, utile pour décrire les orbites astronomiques, telles que le mouvement des planètes. Néanmoins son usage n'a jamais été très répandu parmi les physiciens peut-être parce qu'il est moins intuitif que la quantité de mouvement ou le moment cinétique. C'est la raison pour laquelle il a été redécouvert plusieurs fois au cours des trois derniers siècles.
Jakob Hermann (-) est considéré comme ayant découvert le vecteur. Il est le premier à montrer que A est conservé dans le cas particulier des forces centrales en carré inverse, et travailla sur ses connexions avec l'excentricité orbitale dans le cas des orbitales elliptiques.
En , Jean Bernoulli (-) généralise les travaux de Hermann et donne tant la direction que la norme du vecteur.
À la fin du , Pierre-Simon de Laplace redécouvre la conservation de A, l'obtenant de manière analytique et non plus de façon géométrique.
Vers le milieu du , William Rowan Hamilton détermine le vecteur excentricité, qui est équivalent, et l'utilise pour montrer que le vecteur quantité de mouvement p décrit un cercle pour un mouvement effectué sous une force centrale en carré inverse (Figure 3).
Au début du , Josiah Willard Gibbs trouve le même vecteur par analyse vectorielle. La méthode de Gibbs est citée en exemple par Carl Runge dans un livre allemand sur les vecteurs.
En , Wilhelm Lenz (-) publie un article sur le traitement quantique de l'atome d'hydrogène. Il y utilise le vecteur pour calculer les niveaux d'énergie des mouvements képlériens perturbés dans le cadre de la théorie quantique alors en vigueur. Dans sa description du vecteur, il cite l'ouvrage de Runge.
En , Wolfgang Pauli (-) publie un article sur la dérivation des niveaux d'énergie de l'atome d'hydrogène en utilisant la mécanique matricielle et non l'équation de Schrödinger. Pour sa dérivation, il part du vecteur qu'il présente comme .
À la suite de l'article de Pauli, le vecteur commence à être connu comme le . Ainsi désigné, le vecteur est un exemple de la loi de Stigler. Aussi a-t-il été suggéré de le nommer voire .
Définitions mathématiques
Dans les formules qui suivent on se situe dans un problème de Kepler simplifié où la masse de l'objet en mouvement est négligeable par rapport au corps central. Ce dernier est alors considéré comme immobile. Pour une particule seule mise en mouvement par une force centrale en carré inverse de la distance décrite par l'équation , le vecteur de Runge-Lenz A est défini mathématiquement par la formule
vignette |droite |Figure 1: Le vecteur de Runge-Lenz A (en rouge) en quatre points (notés 1, 2, 3, 4) de l'orbite elliptique d'une particule liée se déplaçant sous l'effet d'une force centrale en carré inverse. Le centre d'attraction est représenté par le point noir duquel partent les rayons vecteurs r. Le vecteur moment cinétique L est perpendiculaire à l'orbite. Les vecteurs coplanaires p ∧ L et (mk/r)r sont respectivement en bleu et vert ; ces variables sont définies dans le texte. Le vecteur A est constant en direction et en norme.
,
où
est la masse de la particule ponctuelle se déplaçant sous l'effet de la force centrale, est la masse du corps central, est le vecteur vitesse, est le vecteur quantité de mouvement, est son vecteur moment cinétique, est un paramètre décrivant l'intensité de la force, est le vecteur position de la particule (Figure 1), et est le vecteur unitaire correspondant, i.e., où r est la norme de r, est le vecteur unitaire perpendiculaire à dans le sens du mouvement, , l'angle entre et , est le vecteur de Hamilton.
La démonstration utilise le principe fondamental de la dynamique de Newton et la loi des aires de Kepler pour éliminer la variable :
.
Puis l'intégrale par rapport à l'angle permet d'obtenir une expression du vecteur vitesse qui est la somme de deux vecteurs de normes constantes, l'un mobile et l'autre fixe. Ce dernier est le vecteur constant de Hamilton :
.
Comme et \mathbf{p}=m\mathbf{v} on retrouve la formule ci-dessus :
.
Étant donné que la force est supposée conservative, l'énergie totale E est une constante du mouvement: .
De plus la force étant centrale, le moment cinétique L est également constant et définit le plan dans lequel la particule se déplace. Le vecteur de Runge-Lenz est perpendiculaire à L car p ∧ L et r sont perpendiculaires à L. Il s'ensuit que A est contenu dans le plan de l'orbite.
Cette définition de A est applicable pour une particule seule et ponctuelle de masse m se déplaçant sous l'effet d'une force donnée. Cependant la même définition peut être étendue au problème à deux corps, tel que le problème de Kepler, en prenant pour m la masse réduite des deux corps et pour r le vecteur entre les deux corps.
Une alternative pour la même constante du mouvement est également possible. La plus commune est de diviser par pour définir le vecteur excentricité : .
Obtention de l'orbite de Kepler
vignette |droite |Figure 2: version simplifiée de la Figure 1, définissant l'angle θ entre A et r en un point de l'orbite.
La forme et l'orientation des orbites dans le problème à deux corps de Kepler peuvent être déterminées à partir du vecteur de Runge-Lenz comme suit. Le produit scalaire de A par le vecteur position r donne l'équation
,
où θ est l'angle entre r et A (Figure 2). En permutant le produit mixte
,
et un réarrangement conduit à la formule de définition d'une conique :
d'excentricité et de paramètre (à ne pas confondre avec la norme de la quantité de mouvement notée de manière identique) égal à , ce qui donne la formule polaire : .
Le demi-grand axe a de la conique peut être obtenu à partir du paramètre et de l'excentricité
,
où le signe moins désigne une ellipse et le signe plus une hyperbole.
L'expression de A au carré mène à une équation faisant intervenir l'énergie E :
.
Comme on a vu précédemment que on a alors : ,
ce qui peut être réécrit en termes d'excentricité avec :
.
Donc, si l'énergie est négative (état lié) l'excentricité est inférieure à un et l'orbite est une ellipse. Si l'énergie est positive (état libre ou état de diffusion), l'excentricité est supérieure à un et l'orbite est une hyperbole. Pour finir, si l'énergie est exactement égale à zéro l'orbite est une parabole (excentricité égale à 1). Dans tous les cas A est colinéaire à l'axe de symétrie de la conique et est dirigé du centre de force vers le periapside, point de plus courte approche.
Hodographes circulaires de la quantité de mouvement
vignette|droite|Figure 3 : le vecteur quantité de mouvement p (en bleue) décrit un cercle quand la particule se déplace sur l'ellipse. Les quatre points notés sont ceux de la Figure 1. Le cercle est centré sur l'axe py à la position A/L (en magenta) et a un rayon mk/L (en vert). L'angle η détermine l'excentricité e de l'orbite elliptique (cos η = e). Par le théorème des angles inscrits dans un cercle, η est aussi l'angle formé par n'importe quel point du cercle et les deux points d'intersection avec l'axe px situés en px=±p0.
La conservation du vecteur de Runge-Lenz A et du vecteur moment cinétique L est utile pour montrer que le vecteur p se déplace sur un cercle dans un mouvement à force centrale suivant une loi en carré inverse. Le produit vectoriel de A et L mène à une équation pour p
.
En prenant L le long de l'axe z et le grand axe suivant l'axe x on obtient l'équation :
.