En mathématiques, une série de Lambert, nommée ainsi en l'honneur du mathématicien Jean-Henri Lambert, est une série génératrice prenant la forme .
Elle peut être resommée formellement en développant le dénominateur :
où les coefficients de la nouvelle série sont donnés par la convolution de Dirichlet de avec la fonction constante : .
Exemples La série de Lambert de certaines fonctions multiplicatives se calcule facilement ; par exemple : la série de Lambert de la fonction de Möbius est la série génératrice ordinaire de ✻ = δ : ; celle de est la série ordinaire de la fonction (nombre de diviseurs) : ; plus généralement, celle de la fonction puissance (n) = n (où est un nombre complexe) est la série ordinaire de la fonction ✻ = (somme des puissances -ièmes des diviseurs) : ; de même, celle de la fonction totient de Jordan est la série ordinaire de la fonction puissance : . En particulier, la série de Lambert de l'indicatrice d'Euler est :
Les séries de Lambert dans lesquelles les sont des fonctions trigonométriques, par exemple, , peuvent être évaluées en utilisant diverses combinaisons des dérivées logarithmiques des fonctions thêta de Jacobi.
Voir aussi Articles connexes Constante d'Erdős-Borwein Série de Lambert pour la fonction de Liouville Séries de Fourier des séries d'Eisenstein Fonction zêta de Riemann et ses valeurs aux points entiers Une utilisation des séries de Lambert pour démontrer un théorème de Jacobi Bibliographie
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Catégorie:Fonction arithmétique Lambert Catégorie:Caractère de Dirichlet