En mathématiques, et plus spécifiquement en algèbre dans le cadre de la théorie de Galois, le groupe de Galois d'une extension de corps L sur un corps K est le groupe des automorphismes de corps de L laissant K invariant point par point. Le groupe de Galois est souvent noté Gal(L/K).
Si l'extension possède de bonnes propriétés, c’est-à-dire si elle est séparable et normale, on parle alors d'extension de Galois et les hypothèses du théorème fondamental de la théorie de Galois sont réunies. Il existe alors une bijection entre les sous-corps de L et les sous-groupes du groupe de Galois Gal(L/K).
La correspondance permet une compréhension profonde de la structure de l'extension. Un exemple important est le théorème d'Abel, il donne une condition nécessaire et suffisante de résolution par radicaux d'une équation algébrique.
Histoire Genèse
Si l'histoire de la théorie des équations algébriques remonte à la nuit des temps, en revanche l'introduction du concept de groupe date du . Joseph-Louis Lagrange met en évidence la relation entre les propriétés des permutations des racines et la possibilité de résolution d'une équation cubique ou quartiqueJ.-L. Lagrange, Réflexions sur la résolution algébrique des équations, 1770.. Paolo Ruffini est le premier à comprendre que l'équation générale et particulièrement l'équation quintique n'admet pas de solution P. Ruffini, Teoria Generale delle Equazioni, in cui si dimostra impossibile la soluzione algebraica delle equazioni generali di grado superiore al quarto, 1799.. Sa démonstration reste lacunaire. Les démonstrations de Niels Henrik Abel, dans deux articles écrits en 1824N. H. Abel, Mémoire sur les équations algébriques, où l'on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degré, 1824. et 1826 passent, après des années d'incompréhension, à la postérité. Cependant la notion de groupe abstrait n'apparaît pas encore et le théorème reste incomplet.
Évariste Galois Évariste Galois résout définitivement la problématique en proposant une condition nécessaire et suffisante juste pour la résolubilité de l'équation par radicaux. Son approche subit la même incompréhension que ses prédécesseurs. Ses premiers écrits, présentés à l'Académie des sciences dès 1829, sont définitivement perdus. Un articleÉ. Galois, Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux, texte manuscrit de 1830, publié en 1846 au Journal de mathématiques pures et appliquées, en ligne sur le site bibnum avec une analyse par Caroline Ehrhardt. de l'auteur écrit en 1830 est découvert par Joseph Liouville qui le présente à la communauté scientifique en 1843 en ces termes: « … J'espère intéresser l'Académie en lui annonçant que dans les papiers d'Évariste Galois j'ai trouvé une solution aussi exacte que profonde de ce beau problème : Étant donné une équation irréductible décider si elle est ou non résoluble par radicaux. »
L'apport de Galois est majeur, G. VerriestG. Verriest, Œuvres Mathématiques d'Évariste Galois, 1951, Gauthier-Villars, Paris. le décrit dans les termes suivants : « le trait de génie de Galois c'est d'avoir découvert que le nœud du problème réside non pas dans la recherche directe des grandeurs à adjoindre, mais dans l'étude de la nature du groupe de l'équation. Ce groupe […] exprime le degré d'indiscernabilité des racines […]). Ce n'est donc plus le degré d'une équation qui mesure la difficulté de la résoudre mais c'est la nature de son groupe. »
Galois modifie profondément son axe d'analyse par rapport à ses prédécesseurs. Pour la première fois dans l'histoire des mathématiques, il met en évidence une structure abstraite, qu'il appelle groupe de l'équation. C'est une étude sur la théorie des groupes abstraits qui lui permet de montrer qu'il existe des cas non résolubles. Il met ainsi en évidence que le groupe alterné d'indice cinq ne possède pas les propriétés nécessaires pour être résoluble. Il écrit ainsi « Le plus petit nombre de permutations que puisse avoir un groupe indécomposable quand ce nombre n'est pas premier est 5.4.3.É. Galois, Écrits et Mémoires Mathématiques d'Évariste Galois, 1962, Gauthier-Villars, Paris. »
Cette démarche, consistant à définir et analyser des structures abstraites et non plus des équations, est des plus fécondes. Elle préfigure ce qu'est devenue l'algèbre. Pour cette raison, Galois est souvent considéré comme un père de l'algèbre moderne.
L'évolution de la théorie Deux mathématiciens comprennent immédiatement la portée du travail de Galois, Liouville et Augustin Louis Cauchy qui publie dès 1845 un article démontrant le théorème sur les groupes finis portant son nomA. L. Cauchy, Sur le nombre de valeurs égale ou inégales que peut acquérir une fonction de n variables indépendantes, quand on permute ces variables entre elles d'une manière quelconque, 1845.. Puis Arthur Cayley donne une première définition abstraite de la structure de groupe., indépendante de la notion de permutation. Camille Jordan diffuse largement les idées de Galois. Son livreC. Jordan, Traité des substitutions et des équations algébriques, 1870. rend accessible la théorie à un public beaucoup plus vaste en 1870.
La théorie est petit à petit profondément modifiée par des mathématiciens comme Richard Dedekind qui fut le premier à parler de « théorie de Galois », Otto Hölder qui démontra son théorème désormais célèbre en 1889 ou Emil Artin qui donne la définition moderne d'un groupe de Galois E. Artin, Galois Theory, Notre Dame Press, Londres 1942 (rééd. 1971).. Le groupe de Galois est maintenant un groupe d'automorphismes et non un groupe de permutations.
Motivation Motivation originale
Initialement, le groupe de Galois est apparu comme un outil pour comprendre les équations algébriques. L'approche naïve consistant à opérer des changements de variables ou des transformations sur un polynôme ne permet pas de trouver algébriquement les racines.
Pour comprendre dans quel cas une telle démarche fonctionne, une bonne approche consiste à étudier les permutations des racines qui laissent invariantes toutes les expressions algébriques de ces racines. Une telle structure forme un groupe, isomorphe au groupe de Galois.
La théorie de Galois permet alors de déterminer exactement dans quel cas il est possible d'exprimer les racines en fonctions d'expressions algébriques des coefficients de l'équation et de radicaux. Un radical est un nombre dont une puissance n-ième est un nombre du corps initial. La structure du groupe de Galois permet cette exacte détermination.
Une telle démarche, consistant à étudier non plus les transformations, mais la structure même de la plus petite extension contenant toutes les racines, appelée corps de décomposition, s'avère puissante. Elle est la base de l'algèbre moderne. Cette approche consiste à étudier de manière générale la structure d'un ensemble particulier, ici le corps de décomposition. Cet ensemble apparaît comme disposant d'une double structure, à la fois de corps et aussi d'espace vectoriel sur le corps des coefficients. Le groupe de Galois est la structure algébrique la plus simple permettant une compréhension profonde.
Les extensions finies
Cette approche générale est féconde pour l'analyse de toute extension finie sur n'importe quel corps de base. Cette analyse s'avère plus simple si l'extension possède de bonnes propriétés. Deux hypothèses sont utiles, l'extension doit être séparable et normale. On parle alors d'extension galoisienne. Il est néanmoins nécessaire de généraliser les concepts. Un groupe devient alors une structure abstraite qui s'éloigne de la notion de permutation. Le groupe de Galois n'est plus défini à l'aide des racines d'un polynôme car l'extension est maintenant définie de manière générale et non plus à partir d'une équation algébrique. Le groupe de Galois apparaît alors comme le groupe des automorphismes de l'extension laissant invariant le corps de base.
Le théorème fondamental de la théorie de Galois établit, dans le cas où l'extension finie est galoisienne, une correspondance entre ses corps intermédiaires et les sous-groupes de son groupe de Galois. Cette correspondance permet la compréhension fine de l'extension. Le cas général Le caractère fini de l'extension n'est pas nécessaire pour la définition du groupe de Galois. Dans le cas général, le groupe de Galois reste un outil fondamental. Cependant, la théorie devient suffisamment complexe pour être décomposée.
Le cas où le groupe de Galois est commutatif est maintenant parfaitement connu. La théorie des corps de classes correspond à la classification des extensions abéliennes. Cette théorie est considérée comme l'un des grands succès des mathématiques du .
Le cas non commutatif est encore largement une question ouverte en mathématique. Le groupe de Galois reste un outil fondamental, comme le montrent par exemple les travaux de Laurent Lafforgue sur le programme de Langlands, qui lui valurent une médaille Fields en 2002.
Définition Soient K un corps, L une extension algébrique de K et P un polynôme à coefficients dans K.
On appelle groupe de Galois de l'extension L sur K, Définition 12.59. le groupe des automorphismes de L laissant K invariant. Le groupe de Galois est souvent noté Gal (L/K). On appelle groupe de Galois du polynôme P sur K le groupe de Galois d'un corps de décomposition de P sur K : il est unique à isomorphisme près, ce dernier l'étant déjà. Le groupe de Galois est alors souvent noté GK(P).
Exemples D'autres exemples sont donnés dans les articles « Théorème d'Abel (algèbre) » et « Théorie de Galois inverse ». Signalons aussi l'existence d'un polynôme de degré 7 ayant pour groupe de Galois un groupe simple d'ordre 168. Degré 2 Considérons un exemple suffisamment simple pour que l'approche historique soit utilisable dans ce cas. Soit P le polynôme à coefficients rationnels défini par :
Ses deux racines sont :
Considérons alors l'ensemble E des polynômes à deux variables dont le couple (x1, x2) est racine. Les trois exemples de polynômes suivants vérifient cette propriété :
On remarque alors que (x2, x1) est aussi une racine d'un polynôme de cette nature. Ceci démontre que les deux permutations des racines, qui au couple (x1, x2) associent, l'une (x1, x2) et l'autre, (x2, x1), laissent E stable (plus généralement : le groupe de Galois d'un polynôme irréductible agit transitivement sur l'ensemble des racines de ce polynôme).
Le groupe des deux permutations est isomorphe au groupe de Galois. Initialement c'est ainsi qu'il était défini. Il est ici isomorphe à ℤ/2ℤ. Degré 5
Selon le complément apporté par Galois au théorème d'Abel, si le groupe de Galois d'un polynôme irréductible P sur un corps parfait K, comme le corps ℚ des rationnels, n'est pas résoluble, alors les racines du polynôme ne s'expriment pas à l'aide de radicaux à partir d'éléments de K. Les exemples les plus simples sont des polynômes de degré 5 dont le groupe de Galois sur ℚ est le groupe symétrique S5, qui n'est pas résoluble.