vignette|Quatre dés à six faces de quatre couleurs différentes. Les six faces possibles sont visibles. Le terme probabilité possède plusieurs sens : venu historiquement du latin probabilitas, il désigne l'opposé du concept de certitude ; il est également une évaluation du caractère probable d'un événement, c'est-à-dire qu'une valeur permet de représenter son degré de certitude ; , la probabilité est devenue une science mathématique et est appelée théorie des probabilités ou plus simplement probabilités.
La probabilité d'un événement est un nombre réel compris entre 0 et 1. Plus ce nombre est grand, plus le risque, ou la chance, que l'événement se produise est grand. L'étude scientifique des probabilités est relativement récente dans l'histoire des mathématiques. L'étude des probabilités a connu de nombreux développements depuis le grâce à l'étude de l'aspect aléatoire et en partie imprévisible de certains phénomènes, en particulier les jeux de hasard. Ceux-ci ont conduit les mathématiciens à développer une théorie qui a ensuite eu des implications dans des domaines aussi variés que la météorologie, la finance ou la chimie.
Historique
vignette|Christian Huygens. À l'origine, dans les traductions d'Aristote, le mot ne désigne pas une quantification du caractère aléatoire d'un fait, mais la perception qu'une idée est communément admise par tous. Ce n'est qu'au cours du Moyen Âge, puis de la Renaissance, autour des commentaires successifs et des imprécisions de traduction de l'œuvre d'Aristote, que ce terme connaîtra un glissement sémantique pour finir par désigner la vraisemblance d'une idée.
L'apparition de la notion de , préalable à l'étude des probabilités, n'est apparue qu'au , pour l'évaluation de contrats commerciaux avec le Traité des contrats de Pierre de Jean Olivi., et s'est développée au , avec la généralisation des contrats d'assurance maritime.. À part quelques considérations élémentaires par Girolamo Cardanohttp://www.cict.fr/~stpierre/histoire/node1.html site sur l'histoire des probabilités au début du , et par Galilée au début du , le véritable début de la théorie des probabilités date de la correspondance entre Pierre de Fermat et Blaise Pascal, en 1654.
C'est dans la seconde moitié du , à la suite des travaux de Blaise Pascal, Pierre de Fermat et Christian HuygensCes trois auteurs n'ont jamais utilisé le terme dans le sens qu'il prend par la suite avec le . . sur le problème des partis, que le terme prend peu à peu son sens actuel, avec les développements du traitement mathématique du sujet par Jakob Bernoulli.
Au , Gabriel Cramer donne un cours sur la logique probabiliste qui deviendra une base à l'article probabilité de l'encyclopédie de Diderot, écrite à la fin de ce même siècle. Ce n'est alors qu'au qu'apparaît ce qui peut être considéré comme la théorie moderne des probabilités en mathématiques.
Le calcul des probabilités prend un nouvel essor au début du , avec l'axiomatique de Kolmogorov; commence alors la théorie des probabilités. Les probabilités deviennent une science et une théorie, comme branche des mathématiques.
Terminologies Ainsi, il existe plusieurs notions que nous détaillerons dans les sections suivantes : la probabilité d'un fait caractérise la possibilité que ce fait se produise, une vraisemblance, une apparence de vérité. (définition 2 du Larousse). Le probable, la connaissance probable ou la logique probabiliste sont des termes utilisés, notamment au , pour désigner une connaissance intermédiaire entre la certitude de la vérité et la certitude de la fausseté.
les probabilités d'un fait donnent le pourcentage de chance qu'un fait se produise, c'est-à-dire qu'elles donnent une ou plusieurs valeurs (ou pourcentages) de la possibilité qu'il se produise. Cette notion se rapproche de la notion mathématique de loi de probabilité (définition 1 du Larousse). Plus formellement, c'est le rapport du nombre de cas favorables au nombre de cas possibles.
les probabilités ou le calcul des probabilités ou la théorie des probabilités sont la théorie mathématique qui étudie le caractère probable des événements (définition 1 du Larousse).
la doctrine des probabilités ou probabilisme est une doctrine de théologie morale qui enseigne qu'on peut suivre une opinion, pourvu qu'elle soit probable.
Probabilité et certitude Le premier usage du mot probabilité apparaît en 1370 avec la traduction de l'éthique à Nicomaque d'Aristote par Oresme, et désigne alors « le caractère de ce qui est probable ». Le concept de probable chez Aristote (, en grec) est ainsi défini dans les Topiques :
Ce qui rend une opinion probable chez Aristote est son caractère généralement admis; ce n'est qu'avec la traduction de Cicéron des Topiques d'Aristote, qui traduit par probabilis ou par verisimilis, que la notion de vraisemblance est associée à celle de « probabilité », ce qui aura un impact au cours du Moyen Âge puis de la Renaissance, avec les commentaires successifs de l'œuvre d'Aristote.
Une phrase, situation ou proposition est vraie ou fausse. Sa probabilité est la . La notion d'incertitude est quant à elle le défaut de cette connaissance. Pour une proposition, il existe alors trois cas : la proposition est reconnue comme vraie avec certitude ; la proposition est reconnue comme fausse avec certitude ; elle est probable si on ne peut la reconnaître vraie ou fausse. Dans ce cas, il est possible de mesurer une certaine vraisemblance par la connaissance du nombre de conditions requises pour être reconnue vraie.
Cette représentation développée par Cramer permet de faire apparaître une manière de mesurer la notion d'incertitude ou de probabilité. Il donne alors la définition suivante de la probabilité :
Probabilités d'un événement
Comme précisé précédemment, la notion de probabilité permet de quantifier le hasard. La formalisation du début du est aujourd'hui unanimement utilisée. (par exemple, voir l'ouvrage de Jacod et Protter pour cette section)
La probabilité d'un certain événement , notée , associe une valeur entre 0 et 1 que l'événement se réalise. Lorsque , l'événement est dit presque sûr (ou quasi certain), c'est-à-dire qu'il a « toutes les chances » de se réaliser. À l'inverse si , est dit négligeable (ou quasi impossible), c'est-à-dire qu'il a une chance nulle de se réaliser.
La probabilité d'un événement peut s'obtenir de manière fréquentiste, notamment lorsqu'il est possible de faire une expérience plusieurs fois et de compter le nombre de succès de l'expérience. En effet, si on effectue fois une expérience indépendamment et que dans fois des cas, l'événement est réalisé, alors, la probabilité de est donnée par :
De manière plus probabiliste, lorsque le nombre de résultats possibles de l'expérience est fini et que ces résultats sont équiprobables, la probabilité de est obtenue par :
Mathématiquement, l'événement est un sous-ensemble d'un ensemble qui représente toutes les éventualités possibles. Pour obtenir une théorie, des axiomes ont été proposés par Kolmogorov : la probabilité doit vérifier : pour tout événement , , , pour . Plus rigoureusement, l’ensemble est muni d’une tribu , les événements sont les éléments de cette tribu, et la probabilité P est une application de cette tribu vers [0,1] vérifiant les propriétés précédentes, la propriété 3 étant demandée pour des unions dénombrables d’événements disjoints deux à deux.
Grâce à cette description, plusieurs notions peuvent s'écrire de manière mathématique.
Deux événements sont dits indépendants si le fait de connaître la probabilité du premier événement ne nous aide pas pour prévoir la probabilité du second et inversement. Mathématiquement, cela s'écrit : . Par exemple, la probabilité d'obtenir un 1 à un premier jeté de dé (à 6 faces) et d'obtenir un 1 au deuxième jeté de dé est la multiplication des deux probabilités et vaut 1/36.
Il est possible de considérer la probabilité d'un événement (notons le ) conditionnellement à un autre (noté ). Lorsque les deux événements ne sont pas indépendants, le fait de connaître la probabilité de l'un influence la probabilité de l'autre par la formule : . Par exemple, la probabilité d'obtenir la somme des deux dés égale à 12 lorsque le premier dé a donné 6 vaut 1/6.
Des formules existent pour pouvoir calculer beaucoup de types de probabilités. C'est le cas par exemple de la formule de Poincaré, de la formule des probabilités totales ou du théorème de Bayes.
Théorie des probabilités
Encouragé par Pascal, Christian Huygens publie De ratiociniis in ludo aleae (raisonnements sur les jeux de dés) en 1657. Ce livre est le premier ouvrage important sur les probabilités. Il y définit la notion d'espérance et y développe plusieurs problèmes de partages de gains lors de jeux ou de tirages dans des urnesLes probabilités : Approche historique et définition.. Deux ouvrages fondateurs sont également à noter : Ars Conjectandi de Jacques Bernoulli (posthume, 1713) qui définit la notion de variable aléatoire et donne la première version de la loi des grands nombreshttp://www.cict.fr/~stpierre/histoire/node3.html, une histoire de la probabilité jusqu'à Laplace, et Théorie de la probabilité d' Abraham de Moivre (1718) qui généralise l'usage de la combinatoireIan Hacking L'émergence des probabilités.
La théorie de la probabilité classique ne prend réellement son essor qu'avec les notions de mesure et d'ensembles mesurables qu'Émile Borel introduit en 1897. Cette notion de mesure est complétée par Henri Léon Lebesgue et sa théorie de l'intégrationhttp://www.cict.fr/~stpierre/histoire/node4.html histoire des probabilités de Borel à la seconde guerre mondiale. La première version moderne du théorème central limite est donnée par Alexandre Liapounov en 1901Entre De Moivre et Laplace et la première preuve du théorème moderne est donnée par Paul Lévy en 1910. En 1902, Andrei Markov introduit les chaînes de MarkovDicoMaths : Chaine de Markov pour entreprendre une généralisation de la loi des grands nombres pour une suite d'expériences dépendant les unes des autres. Ces chaînes de Markov connaîtront de nombreuses applications, entre autres pour modéliser la diffusion ou pour l'indexation de sites internet par Google.
Il faudra attendre 1933 pour que la théorie des probabilités sorte d'un ensemble de méthodes et d'exemples divers et devienne une véritable théorie, axiomatisée par Kolmogorovun article sur la mise en place de l'axiomatisation des probabilités..
Kiyoshi Itô met en place une théorie et un lemme qui porte son nom dans les années 1940Biographie d'Itô sur le site de Mac Tutor. Ceux-ci permettent de relier le calcul stochastique et les équations aux dérivées partielles, faisant ainsi le lien entre analyse et probabilités. Le mathématicien Wolfgang Doeblin avait de son côté ébauché une théorie similaire avant de se suicider à la défaite de son bataillon en . Ses travaux furent envoyés à l'Académie des sciences dans un pli cacheté qui ne fut ouvert qu'en 2000Bernard Bru et Marc Yor (éd.), « Sur l'équation de Kolmogoroff, par W Doeblin », C. R. Acad. Sci. Paris, Série I 331 (2000). Sur la vie de Doeblin, voir Bernard Bru, « La vie et l'œuvre de W. Doeblin (1915-1940) d'après les archives parisiennes », Math. Inform. Sci. Humaines 119 (1992), 5-51 et, en anglais, Biographie de Doeblin sur le site de Mac Tutor.
Axiomatique
Au début du , Kolmogorov définit des axiomes mathématiques afin de pouvoir étudier le hasard. Ainsi il construit l'espace des possibles, appelé univers, qui contient tous les hasards possibles, il le munit d'un ensemble qui contient des sous-ensembles de l'univers, appelé tribu et vérifiant certaines hypothèses, et d'une mesure de probabilité qui permet de calculer les probabilités correspondantes. L'espace ainsi construit vérifie les trois axiomes des probabilités : (Positivité) la probabilité d'un événement est une valeur entre 0 et 1 : pour tout , ; (Masse unitaire) la probabilité de l'univers est 1 : ;