Le lemme de Hadamard est un résultat de calcul différentiel très utile pour trouver des modèles locaux de fonctions différentiables. Il est utilisé par exemple dans la preuve du lemme de Morse. Énoncé Soit une fonction de classe avec . Alors pour tout , il existe des fonctions , de classe telles que pour tout ,
Démonstration On a (second théorème fondamental de l'analyse).
Mais (théorème de dérivation des fonctions composées).
Le résultat s'ensuit, avec qui est en raison du théorème de dérivation sous le signe somme (règle de Leibniz).
Remarques On a nécessairement . Les fonctions ne sont pas uniques.
Applications Par application du lemme, on peut justifier que pour toute fonction lisse telle que , la fonction qui à x associe est lisse et bien définie. Par exemple, le sinus cardinal est bien défini.
Voir aussi Fonction lisse Série de Taylor
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