vignette|Les 52 partitions d'un ensemble à 5 éléments. Les points noirs représentent les éléments de l'ensemble. Une région colorée correspond à un bloc de la partition qui regroupe plusieurs points noirs. Un point noir isolé signifie que cet élément appartient à un bloc qui est un singleton. En mathématiques, une partition d'un ensemble est un ensemble de parties non vides de deux à deux disjointes et dont l'union est .
Définition
Soit un ensemble . Un ensemble de parties de est une partition de si : aucune de ces parties n'est vide () ; leur union est égale à ; elles sont deux à deux disjointes () . Les éléments d'une partition sont parfois appelés des classes ou des blocs.
Dans le cas fini, on définit aussi des partitions ordonnées comme des -uplets tels que l'ensemble est une partition de .
Exemples
L'ensemble {1, 2, 3} a les partitions suivantes : { {1}, {2}, {3} } ; { {1, 2}, {3} } ; { {1, 3}, {2} } ; { {1}, {2, 3} } ; et { {1, 2, 3} }. Remarquons que : { ∅, {1, 3}, {2} } n'est pas une partition parce qu'elle contient l'ensemble vide ∅ ; { {1, 2}, {2, 3} } n'est pas une partition parce que l'élément 2 appartient à plus d'une partie ; { {1}, {2} } n'est pas une partition de {1, 2, 3} car l'union de tous les éléments est {1, 2} ; c'est une partition de {1, 2}. Dans le cas où tous les éléments de la partition ont même cardinal, on retrouve le cas du lemme des bergers.
La partition vide est une partition de l'ensemble vide (c'est d'ailleurs la seule) puisque tous ses éléments (il n'y en a aucun) ont toutes les propriétés souhaitables (ici : être non vides et disjoints) et que leur union est vide (par définition).
Partitions et relations d'équivalence
Si une relation d'équivalence est donnée sur l'ensemble , alors l'ensemble de toutes les classes d'équivalence forme une partition de . Inversement, si une partition de est donnée, alors nous pouvons définir une relation d'équivalence sur notée ~, par ~ si et seulement s’il existe, parmi les éléments de , une partie de qui contient à la fois et . Les notions de relation d'équivalence et de partition sont donc fondamentalement équivalentes.
Ordre partiel sur les partitions
L'ensemble de toutes les partitions d'un ensemble non vide est partiellement ordonné : par définition, une partition est plus fine qu'une autre si elle fractionne les éléments de l'autre en de plus petites parties. Cet ordre partiel forme un treillis complet dont le plus petit élément (la partition la moins fine) est la partition grossière en une seule partie () et le plus grand (la partition la plus fine) est la partition en singletons.
Dénombrements dans le cas fini
Le nombre de partitions d'un ensemble à éléments en exactement sous-ensembles est le nombre de Stirling de seconde espèce S(n, k) ; le nombre total de partitions est alors , appelé nombre de Bell. Le nombre de partitions ordonnées d'un ensemble à éléments (des familles de parties ayant les trois propriétés ci-dessus, au lieu d'ensembles de parties) est , appelé nombre de Fubini.
Si un ensemble possède éléments, le nombre de partitions ordonnées de en parties à éléments chacune est le coefficient multinomial ; le nombre de partitions (non ordonnées) en parties à éléments est donc ; voir la . Dans le cas où , une telle partition s'appelle une partition par paires.
Le nombre de partitions différentes d'un ensemble à éléments indiscernables est le nombre de partitions d'un entier.
Partitions par paires .
Voir aussi Partition non croisée Raffinement de partition
Liens externes
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