vignette|Henri-Léon Lebesgue (1875-1941) En mathématiques, et plus précisément en analyse, le théorème de convergence dominée est un des théorèmes principaux de la théorie de l'intégration de Lebesgue.
Le théorème de convergence dominée
Exemples
Un cas particulier élémentaire mais utile Soit une suite de fonctions continues à valeurs réelles ou complexes sur un intervalle de la droite réelle. On fait les deux hypothèses suivantes : la suite converge simplement vers une fonction ; il existe une fonction continue telle queAlors
Remarques sur l'hypothèse de domination L'existence d'une fonction intégrable majorant toutes les fonctions équivaut à l'intégrabilité de la fonction (la plus petite fonction majorant toutes les fonctions ).
Cette hypothèse est indispensable pour appliquer le théorème : par exemple sur , la suite des fonctions — où et désigne la fonction indicatrice de l'intervalle — converge simplement vers la fonction nulle (la convergence est même uniforme) mais la suite des intégrales des , loin de tendre vers l'intégrale (nulle) de cette limite, vaut constamment . D'après le théorème, n'est donc pas intégrable. (Effectivement : , or la série harmonique diverge.)
Il peut cependant arriver que la conclusion souhaitée soit vraie sans qu'on puisse la déduire du théorème : par exemple sur , la suite des fonctions converge vers à la fois simplement et dans , bien que ne soit pas intégrable.
Convergence d'une suite d'indicatrices On applique le théorème au cas où chaque est l'indicatrice d'une partie de . Puisque ces fonctions sont à valeurs réelles, la convergence simple de cette suite de fonctions équivaut à l'égalité de ses limites inférieure et supérieure, respectivement égales aux indicatrices des limites inférieure et supérieure de la suite d'ensembles. On obtient donc :
On peut noter toutefois que l'on peut obtenir ce résultat directement, sans avoir recours au théorème de convergence dominée. En effet
Généralisation
En théorie de la mesure on peut définir la notion de propriété presque partout, c'est pourquoi on peut énoncer le théorème de convergence dominée de façon plus générale :
Afin de démontrer ce théorème, il suffit de faire en sorte de se ramener au cas précédent en s'affranchissant des parties négligeables.
Remarque :
Dans le cas d'une mesure de probabilité, la première hypothèse peut être modifiée en : la suite de fonctions converge en probabilité vers une fonction mesurable .
Exemple d'application Si , sa transformée de Fourier est continue. La vérification de l'hypothèse de domination est immédiate, puisque ; le théorème de convergence dominée permet de voir que est séquentiellement continue, donc continue.
Voir aussi
Articles connexes Intégrale paramétrique Théorème d'interversion série-intégrale Théorème de convergence monotone
Liens externes
Convergence dominée Catégorie:Théorie de l'intégration Catégorie:Suite de fonctions