En géométrie des nombres, la constante d'Hermite , portant le nom du mathématicien Charles Hermite, est définie de la manière suivante pour tout entier . Étant donné un réseau , on note λ1() la norme d'un plus court vecteur non nul de ; alors est le maximum de λ1() sur tous les réseaux de covolume 1 de l'espace euclidien Rn.
La constante d'Hermite est liée à la densité maximale d'un empilement régulier d'hypersphères par la relation : où est le volume de l'hypersphère unité de dimension , exprimé ici à l'aide de la fonction gamma.
La suite des est d'ordre de croissance linéaire, mais on ne sait pas si c'est une suite croissante.
Valeurs connues La valeur exacte de est connue seulement pour et = 24Suite de l'OEIS.Démonstration pour n = 6, 7 et 8 : (publié en russe en 1980), ..
1 2 3 4 5 6 7 8 24 1 4/3 2 4 8 64/3 642 4
La valeur est atteinte par le réseau des entiers d'Eisenstein. La valeur est atteinte par le réseau de Leech.
Les valeurs pour les de 9 à 23 sont conjecturées.
Encadrement Pour les autres dimensions, on sait encadrer la constante en fonction du volume de l'hypersphère, en utilisant le théorème de Minkowski pour la majoration et pour la minoration. : .
Le majorant est inférieur à pour tout et équivalent à quand tend vers l'infini (d'après l'expression ci-dessus de et la formule de Stirling), mais il existe une majoration asymptotique bien plus fine. : .
La minoration (valide seulement pour ) implique que pour assez grand.
Références
Hermite Catégorie:Réseau (mathématiques) Catégorie:Charles Hermite