Les théorèmes de Guldin constituent deux énoncés de géométrie euclidienne concernant les solides de révolution établis par le mathématicien suisse Paul Guldin en 1640.. Il est probable que ces résultats étaient déjà connus de Pappus d'Alexandrie, c'est pourquoi on rencontre aussi l'appellation théorèmes de Pappus-Guldin (à ne pas confondre avec le théorème de Pappus).

Ces résultats consistent, sous certaines conditions.. :

en une relation entre l'aire de la surface engendrée par la rotation d'un arc de courbe plane et la position du centre de gravité de ce dernier ; en une relation entre le volume du solide engendré par la rotation d'une plaque plane et la position du centre de gravité de cette dernière.

Historique vignette|Figure d'entrée du livre de Paul Guldin où il énonce le théorème portant son nom.

Guldin énonce en 1640 : , soit .

Énoncés vignette

Premier énoncé

Applications

Calcul d'une aire L'aire du tore ouvert de rayons et vaut

Obtention d'un centre de gravité

La surface engendrée par la rotation complète autour de son diamètre d'un demi-cercle de centre , de rayon et de centre de gravité est la sphère d'aire . Il vient . Plus généralement, la rotation complète autour d'un axe passant par le centre d'un arc de cercle de rayon d'angle au sommet (voir figure), est une zone sphérique d'aire . Par Guldin, , donc (voir centre de gravité d'un arc de courbe).

Second énoncé

Applications Calcul d'un volume Le volume intérieur du tore ouvert de rayons et vaut . Le théorème permet aussi d'obtenir le volume d'un secteur sphérique.

Obtention d'un centre de gravité. gauche|vignette|300x300px|Centre de gravité d'une plaque hémicirculaire.vignette|138x138px|Centre de gravité d'une plaque triangulaire rectangle. Le solide engendré par la rotation complète d'un demi-disque de rayon et de centre de gravité est la boule de volume . Il vient (voir figure à gauche). Le centre de gravité d'une plaque triangulaire rectangle homogène se trouve au tiers des côtés de l'angle droit.

Faisons tourner le triangle autour du côté de longueur (voir figure) ; on obtient un tronc de cône de volume ; mais d'après le deuxième théorème de Guldin, est aussi égal à où est la distance du centre de gravité à l'axe. On obtient , ce que nous voulions.

Généralisations

Considérons un plan mobile dont un point parcourt une courbe , le plan restant constamment perpendiculaire en à la courbe et une figure homogène du plan dont le centre de gravité est , la figure ne se recoupant jamais lors du mouvement. Alors si est une courbe, son mouvement engendre une surface vérifiantSamuel BOUREAU, Tubes non vrillés et surfaces de MONGE.. :

(généralisation du premier théorème de Guldin)

Si est une plaque, son mouvement engendre un solide vérifiant :

(généralisation du deuxième théorème de Guldin)

Ceci est valable quel que soit le mouvement de rotation de autour de son centre de gravité lors du déplacement.

Il existe aussi une généralisation en dimension quelconque..

Références

Liens externes

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