La méthode de Jacobi, due au mathématicien allemand Karl Jacobi, est une méthode itérative de résolution d'un système matriciel de la forme . Pour cela, on utilise une suite qui converge vers un point fixe , solution du système d'équations linéaires.
Principe de construction On cherche à construire, pour donné, la suite avec . On décompose donc la matrice sous une forme où est une matrice inversible.
où est une fonction affine. La matrice est alors appelée matrice de Jacobi.
Cependant, l'algorithme qui suit n'est valable que si la matrice est à diagonale strictement dominante sur les lignes (si la matrice est diagonale, sinon se référer à la section convergence).
Algorithme
Erreur et convergence Si est solution de alors il vérifie .
Soit le vecteur erreur
ce qui donne .
L'algorithme converge si (c-à-d. tend vers la matrice nulle).
Méthode de Jacobi
On décompose la matrice de la façon suivante : avec la matrice diagonale de , la matrice triangulaire inférieure de de diagonale nulle et la matrice triangulaire supérieure de diagonale nulle. Dans la méthode de Jacobi, on choisit et (dans la méthode de Gauss-Seidel, et ).
avec pour la ligne i de :
Vecteur résidu
Soit le vecteur résidu. On peut écrire avec que l'on calcule de la manière suivante : .
Test d'arrêt
Pour le test d'arrêt, on utilise l'erreur relative sur le vecteur résidu, ce qui donne, pour une précision donnée :
Coût Cette méthode a un coût de l'ordre de par itération. Elle converge moins vite que la méthode de Gauss-Seidel, mais est très facilement parallélisable.
Applications En 1932, l'ingénieur américain Hardy Cross a publié un article décrivant une méthode itérative de calcul des efforts dans les charpentes, qu'il appela « méthode de redistribution des moments », et qui est essentiellement une application de la méthode de Jacobi aux matrices de raideur de la résistance des matériaux. Par son interprétation mécanique intuitive, elle exerça une profonde influence à l'époque où se construisaient les gratte-ciels. Au mois de , Cross étendit son application à la résolution des réseaux d'adduction d'eau et des circuits électriques.. L'avènement des calculateurs électroniques a relégué cette technique au rang de curiosité académique, de même que la méthode de relaxation de Southwell, qui en est une généralisation ; elle conserve néanmoins un intérêt didactique pour l'étude de la statique.
Voir aussi Articles connexes Méthode de Cholesky Méthode de Gauss-Seidel Décomposition LU Décomposition QR
Notes
Liens externes Méthode de Jacobi
Catégorie:Analyse numérique matricielle