L'image directe de 𝐴, un sous-ensemble de , par une application est le sous-ensemble de formé des éléments qui ont, par , au moins un antécédent appartenant à :
Exemples On définit en particulier l'image d'une application définie sur : On se gardera bien de confondre l'image directe par d'une partie de , avec l'image par d'un élément de , ou avec l'image de l'application Pour éviter toute confusion, , vol. 1, , parlent d'une application ensembliste, qu'ils notent *.. Considérons l'application de dans définie par , et . L'image directe de par est tandis que l'image de est .
Propriétés élémentaires
Pour toutes parties et de ,Plus généralement, pour toute famille de parties de , Pour toutes parties et de ,et cette inclusion peut être stricte, sauf si est injective.On peut même prouver que est injective si et seulement si pour toutes parties et de , on a . Plus généralement, pour toute famille non vide de parties de ,. Toute partie de contient l'image directe de son image réciproque ; plus précisément :En particulier, si est surjective alors . On peut même prouver que est surjective si et seulement si pour toute partie de on a . (Une démonstration est proposée dans l'article Surjection.) Toute partie de est contenue dans l'image réciproque de son image directe :et cette inclusion peut être stricte, sauf si est injective. On peut même prouver que est injective si et seulement si pour toutes parties de , on a . Si l'on considère de plus une application , alors l'image directe d'une partie de par la composée est :
Notes et références
Articles connexes Théorie naïve des ensembles Image d'une partie par une fonction multivaluée (autrement dit : par une relation binaire)
Catégorie:Théorie des ensembles