En mathématiques, l'image réciproque — ou la préimage — d'une partie B d'un ensemble Y par une application f : X → Y est le sous-ensemble de X constitué des éléments dont l'image par f appartient à B : . Elle est donc caractérisée par : .
Exemples L'image réciproque d'un singleton par une fonction f est l'ensemble des antécédents de y par f. Considérons l'application f : {1, 2, 3} → {a, b, c, d} définie par f(1) = a, f(2) = c, f(3) = d. L'image réciproque de {a, b} par f est f({a, b}) = {1}.
L'application « image réciproque » Avec cette définition, f est l'application « image réciproque (par f) », dont l'ensemble de définition est l'ensemble des parties de Y et dont l'ensemble d'arrivée est l'ensemble des parties de X.
Mise en garde : lorsque f est une bijection, il ne faut pas confondre cette application sur les parties avec la bijection réciproque de f, également notée f, de Y dans X. L'image réciproque par f s'identifie avec l'image directe par cette bijection réciproque f. Pour éviter toute confusion, Birkhoff et Mac Lane, vol. 1, ; ex 3 p. 9 parlent d'une « application d'ensembles » qu'ils notent f* au lieu de f.
Propriétés élémentaires Pour toutes parties et de :
. Pour toute partie de , . En particulier, si est surjective alors . On peut même prouver que est surjective si et seulement si pour toute partie de on a . Pour toute partie de , . L'inclusion dans l'autre sens est fausse en général si n'est pas injective. On peut même prouver que est injective si et seulement si pour toute partie de on a . Pour toute famille de parties de : ; . Si l'on considère de plus une application , alors l'image réciproque d'une partie de par la composée est : .
Notes et références
Articles connexes Relation binaire réciproque L'opération d'image réciproque en géométrie différentielle, aussi appelée « tiré en arrière » ou « pullback ».
Catégorie:Théorie des ensembles