Le lemme de Borel-Cantelli est un résultat de théorie de la mesure très utilisé en théorie des probabilités. Il intervient par exemple dans la preuve de Kolmogorov de la loi forte des grands nombres.
Une réciproque partielle au lemme de Borel-Cantelli, valable uniquement dans le cadre d'un espace de probabilité et de suites d'évènements indépendants, est parfois connue sous le nom de « second lemme de Borel-Cantelli ».
Le lemme de Borel-Cantelli tire son nom des mathématiciens Émile Borel et Francesco Paolo Cantelli.
Introduction La façon la plus simple d'énoncer le lemme de Borel-Cantelli consiste à se placer dans le cadre de la théorie des probabilités et à considérer une suite d'événements.
L'indépendance des événements n'est pas nécessaire. Par exemple, considérons une suite de variables aléatoires, possiblement reliées les unes aux autres, telle que, pour tout
La somme des est finieEn fait elle vaut voir l'article Fonction zêta de Riemann, par exemple la section Valeurs de la fonction zêta pour s entier supérieur à 1., donc d'après le lemme de Borel-Cantelli la probabilité que se produise pour une infinité d'indices est 0. En d'autres termes, avec une probabilité de 1, est non nul à partir d'un certain rang (aléatoire) On a donc appliqué le lemme de Borel-Cantelli à la suite d'événements définie par .
Limite supérieure d'ensembles
En d'autres termes, on peut dire que si et seulement si l'ensemble est infini, ou bien non borné. Une formulation équivalente est la suivante : pour tout , on peut trouver tel que . Cette dernière formulation fournit une écriture commode de la limite supérieure d'ensembles à l'aide d'opérations élémentaires sur les ensembles
On dit aussi parfois que si et seulement si « infiniment souvent » — « » en anglais, d'où la notation « i.o » rencontrée dans certains ouvrages :
Finalement, remarquons que la définition « si et seulement si appartient à une infinité de » ne présuppose pas que les ensembles soient différents : il est par exemple possible de prendre tous les ensembles égaux à un même ensemble .
Énoncé en théorie de la mesure Pour un espace mesuré général , le lemme de Borel-Cantelli prend la forme suivante :
Énoncé en théorie des probabilités Un espace probabilisé est un cas particulier d'espace mesuré, en ce qu'on suppose, de plus, que , alors que dans le théorème général, la mesure (positive) n'est pas supposée finie a priori. En particulier, le lemme de Borel-Cantelli donné en introduction est une forme affaiblie du théorème de Borel-Cantelli donné à la section précédente. Peut-être le lemme de Borel-Cantelli est-il plus populaire en probabilités, où il est crucial dans la démonstration, par Kolmogorov, de la loi forte des grands nombres (s'il ne faut donner qu'un seul exemple). Dans le cadre probabiliste, une formulation plus formelle du lemme donné en langage intuitif dans l'introduction pourrait donc s'écrire :
Loi du zéro-un de Borel
Le lemme de Borel-Cantelli est lié à la loi du zéro-un de Borel, avec laquelle il ne doit pas être confondu :
Le lemme de Borel-Cantelli ne traite que du cas ou la série est convergente, et montre que dans ce cas l'hypothèse d'indépendance n'est pas nécessaire. Le résultat affirmant que pour une suite d'évènements indépendants, est parfois connu sous le nom de second lemme de Borel-Cantelli.
La loi du zéro-un de Borel. La loi du zéro-un de Borel a été publiée en vue, semble-t-il, d'applications aux propriétés des fractions continues. Un peu plus tard, Cantelli aurait remarqué et utilisé le fait que, pour l'un des deux sens, l'hypothèse d'indépendance est superflue, ce qui a conduit au lemme de Borel-Cantelli (à vérifier). montre en particulier que l'hypothèse du lemme de Borel-Cantelli ne peut pas cas être affaiblie en . En effet, on peut avoir et , auquel cas, pour des évènements indépendants :
Notes et références
Voir aussi Articles connexes Loi du zéro-un de Kolmogorov
Borel-Cantelli Borel-Cantelli Catégorie:Espace probabilisé Catégorie:Émile Borel