vignette|L'aire du carré vaut ici 4. En mathématiques, l'aire est une grandeur relative à certaines figures du plan ou des surfaces en géométrie dans l'espace.
Le développement de cette notion mathématique est lié à la rationalisation du calcul de grandeur de surfaces agricoles, par des techniques d'arpentage. Cette évaluation assortie d'une unité de mesure est aujourd'hui plutôt appelée superficie.
Informellement, l'aire permet d'exprimer un rapport de grandeur d'une figure relativement à une unité, par le biais de découpages et recollements, de déplacements et retournements et de passage à la limite par approximation. La mesure d'une aire peut être un nombre réel positif ou être infinie pour certaines surfaces comme le plan dans son ensemble.
Diverses techniques ont été élaborées pour mesurer une aire, de la méthode des indivisibles au calcul intégral et aux méthodes probabilistes comme la méthode de Monte-Carlo.
Définition formelle
Dans un espace euclidien de dimension 2, un domaine a une aire s'il est un ensemble mesurable pour la mesure de Jordan et son aire est égale à cette mesure.
Propriétés
L'aire d'une surface plane suit quatre propriétés. : L'aire d'une surface plane bornée est un nombre positif ou nul. Une unité de longueur étant choisie, l'aire du carré de côté 1 est égale à 1. L'aire est additive. Cela signifie que, les aires de deux surfaces disjointes et étant données, l'aire de leur union est la somme de leurs aires : . Cette propriété peut être interprétée ainsi : si on « découpe » une figure, on obtient deux figures dont la somme des aires est égale à l'aire de la figure initiale. L'aire est invariante par isométrie. Cela signifie qu'une figure peut être déplacée ou retournée sans que cela modifie son aire.
La propriété d'additivité est étendue, par récurrence, à un entier naturel quelconque : si sont des surfaces deux à deux disjointes d'aires respectives , alors
ce qui se note plus rigoureusement :
Mais cette propriété d'additivité finie ne suffit pas, ne serait-ce que pour prouver la formule de calcul de l'aire d'un disque (voir plus bas). Elle est donc étendue à une famille infinie dénombrable de surfaces planes deux à deux disjointes dont les aires sont supposées connues, avec le résultat analogue au précédent :
On parle alors de σ-additivité. (« sigma-additivité »).
Calcul de l'aire Une unité de longueur (notée 1u.l.) étant préalablement choisie, on définit l'unité d'aire (notée 1u.a.) par 1u.a.=(1u.l.). Toutes les surfaces sont mesurées en unités d'aire. La figure de base pour le calcul d'une aire est le carré unité, de côté 1u.l. ; il permet de calculer l'aire du rectangle. À l'aide de l'aire du rectangle, il est possible de déterminer l'aire d'un triangle rectangle (vu comme un demi-rectangle) ou d'un parallélogramme, puis celle d'un triangle quelconque et, par suite, d'un polygone quelconque.
La formule de l'aire d'un disque est plus complexe à démontrer : elle nécessite le passage par une limite de suite. L'idée d'approcher successivement une surface complexe par une suite de surfaces plus simples (en général, des rectangles ou des polygones) est fondamentale. Une surface qui peut être « correctement » approchée par des rectangles, au point qu'on puisse en déduire son aire par un calcul de limite est dite quarrable.
Dans certains cas, l'analyse vient au secours de la géométrie, lorsque les raisonnements par découpage et recollement ne suffisent plus. Certains calculs d'aires nécessitent le recours à des intégrales (notion d’« aire sous la courbe »), qui peuvent parfois être calculées à partir de primitives d'une fonction.
D'autres cas sont plus pathologiques : les mathématiciens ont établi une théorie de la mesure pour généraliser les résultats sur les aires. Pour les fractales, les aires ne sont pas calculables — ou non satisfaisantes. La notion de dimension de Hausdorff généralise celle d'aire, pour un objet fractal plan.
Surfaces usuelles
Ci-dessous sont données les formules de calcul d'aire usuelles les plus courantesCe sont par exemple les trois qui sont rappelées dans . et des démonstrations, qui illustrent les raisonnements géométriques souvent utilisés pour résoudre les problèmes d'aire. : « coupé-collé »L'usage de ce terme d'informatique pour une pratique datant au moins de l'époque paléo-babylonienne peut sembler étrange, mais il est attesté dans ., parfois en imaginant une infinité de découpages par des considérations sur les limites.
Rectangle vignette|Un rectangle longueur 5 et de largeur 4 contient carrés unité. Son aire est donc égale à 20.
Démonstration Un rectangleOn trouvera une démonstration des cas entiers et fractionnaires, basés sur des exemples, dans . Pour une version plus complète, voir . dont la longueur et la largeur sont égales à des nombres entiers m et n peut être vu comme composé de m lignes contenant chacune n carrés unité. Son aire est donc égale à .
Si les dimensions du rectangle sont des fractions m/p et n/q, on considère qu'on a « découpé » le rectangle de dimensions m et n en p parts égales, puis chacune de ces parts à nouveau en q parts égales. Le rectangle de dimensions m et n contient donc fois celui de dimensions m/p et n/q. L'aire de ce dernier rectangle est donc égale à .
Ce résultat se généralise au cas où la longueur et la largeur du rectangle sont des nombres réels, mais le raisonnement est plus abstrait : il nécessite un passage à la limite, en considérant que tout nombre réel est la limite d'une suite de nombres rationnels..
Cas particulier du carré Un carré est un rectangle dont la longueur et la largeur sont égales à un même nombre appelé côté du carré. Un carré de côté c possède une aire égale à c × c, ce qui se note c. Réciproquement, tout nombre de la forme c (où c est positif) peut être considéré comme l'aire d'un carré de côté c, ce qui explique que c se lit « c au carré » ou « le carré de c »..
Triangle
La formule de calcul de l'aire d'un triangle la plus courante est. :
Tout triangle rectangle dont les cathètes (ou petits côtés) mesurent a et b peut être considéré comme la moitié d'un rectangle de dimensions a et b partagé en deux par une de ses diagonales. L'aire de ce triangle rectangle est donc égale à .
Plus généralement, tout triangle de hauteur d'un triangle h et de côté associé b (dans ce cas, le côté est appelé base) est la moitié d'un rectangle de dimensions h et b, ce qui donne la formule classique de calcul d'aire d'un triangle :
D'autres méthodes permettent de calculer l'aire d'un triangle et, par suite, l'aire d'un polygone quelconque, en utilisant le fait que tout polygone peut être partagé en un nombre fini de triangles.. C'est notamment en partageant un polygone régulier en triangles dont un sommet est son centre qu'on obtient les formules usuelles de calcul de l'aire d'un polygone régulier.
Disque
On se convainc de ce résultatVoir un raisonnement analogue par exemple dans . par un partage du disque en un nombre arbitrairement grand de triangles.
En considérant n points A, A… An régulièrement espacés sur un cercle de centre O et de rayon R, on obtient un polygone régulier à n côtés constitué de n triangles isocèles de même aire OAA, OAA, etc. L'aire du polygone régulier est donc n fois celle de l'un de ces triangles. Si la hauteur de chacun de ses triangles est hn, l'aire de chaque triangle est . En multipliant par n, l'aire du polygone égale donc la moitié de la hauteur hn multipliée par le périmètre du polygone. Lorsque le nombre n de points tend vers l'infini, la hauteur hn tend vers R, et le périmètre du polygone vers celui du cercle, soit 2πR, ce qui donne bien le résultat annoncé.
vignette|center|upright=3|Approximations successives d'un disque par des polygones réguliers intérieurs, pour n allant de 3 à 10.
Connaissant le rayon du cercle, une autre méthode, dite d'Archimède (mais en fait formalisée plus tard par, entre autres, Léonard de Vinci dans son Codex Atlanticus), consiste à diviser le disque en secteurs, comme montré sur la figure à droite.
vignette|droite|alt=Un cercle divisé en plusieurs secteurs peut être réorganisé pour former approximativement un parallélogramme|Un cercle peut être divisé en secteurs qui peuvent être réarrangés pour former approximativement un parallélogramme.
Chaque secteur a une forme à peu près triangulaire et les secteurs peuvent être réarrangés pour former un parallélogramme. La hauteur de ce parallélogramme est , et la largeur est la moitié de la circonférence du disque, ou . Ainsi, la surface totale du disque est
Bien que cette méthode de division en secteurs ne soit qu'approximative, l'erreur devient de plus en plus petite à mesure que le disque est divisé en un plus grand nombre de secteurs. La limite de la somme des aires des parallélogrammes approximatifs est exactement , qui est l'aire du disque.
Intégrale
vignette|L'aire du domaine plan S est l'intégrale de la fonction f sur l'intervalle . Le plan euclidien étant muni d'un repère orthonormé, pour une fonction numérique f positive et continue, l'intégrale de Riemann de f sur un intervalle permet d'exprimer facilement l'aire du domaine délimitéD'autres définitions plus générales existent. Celle-ci est notamment celle donnée par le Programme de l'enseignement des mathématiques en classe terminale de la série scientifique en France (Arrêté du 20-7-2001. publié au JO du 4-8-2001, 67). par : l'axe des abscisses ; les droites d'équation respectives et ; la représentation graphique de la fonction f. Cette aire vaut alors I(1u.a.) où le nombre I désigne l'intégrale
N.B. Lorsque le repère cartésien n'est plus orthonormé, la mesure de la surface (l'aire) précédente sera égale à I(Mu.a.) où Mu.a désigne l'aire de la "maille élémentaire" du repère (c'est-à-dire l'aire du parallélogramme construit sur les deux vecteurs de base du repère) : l'intégrale correspond donc à la quantité de "mailles élémentaires" contenues dans la surface mesurée.
Cette aire peut être évaluée par des méthodes numériques en approchant l'aire sous la courbe par des surfaces usuelles : rectangles ou trapèzes notamment. Dans certains cas, un calcul de limite permet de déterminer la valeur exacte de l'intégrale, par un raisonnement semblable à celui utilisé ci-dessus pour le disqueProgramme de l'enseignement des mathématiques en classe terminale de la série scientifique en France (Arrêté du 20-7-2001. publié au JO du 4-8-2001, 67)..
Un raisonnement mêlant des considérations sur les aires et du calcul différentiel permet de prouver pour un exposé complet avec démonstrations. que
où F est une primitive de f sur . Ainsi, la connaissance de primitives d'une fonction permet d'élargir l'ensemble des aires calculables par « découpage » vues précédemment.
Ainsi les raisonnements sur les aires et le calcul différentiel se nourrissent et s'enrichissent mutuellement. Les calculs d'aire ont de ce fait un retentissement sur de nombreux domaines des mathématiques, par le biais des intégrales, notamment les probabilités ou les statistiques par le calcul de la valeur moyenne d'une fonction.
Méthode de Monte Carlo
Si le calcul d'aires permet d'améliorer la connaissance de probabilités via les intégrales, la réciproque est également vraie. Soit une surface S, dont l'aire est connue, qui en contient une autre, L d'aire inconnue. La méthode de Monte-Carlo consiste à envoyer des points au hasard dans S. On dénombre alors le nombre total nS de points et le nombre nL qui se sont trouvés, par hasard, dans L. Il est alors probable que le rapport des aires de L et S soit proche du rapport de nL sur nS. La marge d'erreur sera statistiquement d'autant plus faible que le nombre de points nS sera grand.
Problèmes d'aire Quadrature du cercle