En algèbre linéaire, la matrice de Sylvester de deux polynômes apporte des informations d'ordre arithmétique sur ces polynômes. Elle tient son nom de James Joseph Sylvester. Elle sert à la définition du résultant de deux polynômes.
Définition
Soient p et q deux polynômes non nuls, de degrés respectifs m et n
La matrice de Sylvester associée à p et q est la matrice carrée Ou sa transposée, comme dans . définie ainsi : la première ligne est formée des coefficients de p, suivis de zéros ; la seconde ligne s'obtient à partir de la première par permutation circulaire vers la droite ; les n – 2 lignes suivantes s'obtiennent en répétant la même opération ; la ligne n + 1 est formée des coefficients de q, suivis de zéros ; les m – 1 lignes suivantes sont formées par des permutations circulaires.
Ainsi dans le cas m = 4 et n = 3, la matrice obtenue est
Le déterminant de la matrice de p et q est appelé déterminant de Sylvester ou résultant de p et q.
Remarque : si m = 0 (p constant), alors la matrice n'a aucune ligne formée des coefficients de q ; c'est la matrice scalaire p Id. De même, si n = 0, c'est la matrice q Id. Si m = n = 0 (p et q constants), la matrice de Sylvester est la matrice vide donc le résultant de p et q vaut 1.
Applications
L'équation de Bézout d'inconnues les polynômes x (de degré < n) et y (de degré < m)
peut être réécrite matriciellement
dans laquelle t désigne la transposition, est le vecteur de taille n des coefficients du polynôme x (dans l'ordre décroissant), et le vecteur de taille m des coefficients du polynôme y.
Ainsi le noyau de la matrice de Sylvester donne toutes les solutions de cette équation de Bézout avec et .
Le rang de la matrice de Sylvester est donc relié au degré du PGCD de p et q.
Notamment, le résultant de p et q est nul si et seulement si p et q ont un facteur commun de degré supérieur ou égal à 1.
Notes et références
Voir aussi
Sylvester Catégorie:Polynôme