vignette|thumbtime=566|start=567|end=610|alt=documentaire indien en anglais|upright=1.3|Extrait de Srinivasa Ramanujan- The Mathematician & His Legacy (Srinivasa Ramanujan : le mathématicien et son héritage), un documentaire produit par le Ministère des Affaires extérieures de l'IndeCe documentaire est consultable en intégralité sur Wikimedia Commons., on y voit les cahiers de Ramanujan, conservés à l'université de Madras. Srinivasa Ramanujan (en tamoul : .), né le à Erode et mort le à Kumbakonam, est un mathématicien indien.
Issu d'une famille modeste de brahmanes tamouls orthodoxes, il est autodidacte, faisant toujours preuve d'une pensée indépendante et originale. Il apprend seul les mathématiques à partir de deux livres qu'il s'est procurés avant l'âge de seize ans, ouvrages qui lui permettent d'établir une grande quantité de résultats sur la théorie des nombres, sur les fractions continues et sur les séries divergentes, tandis qu'il crée son propre système de notation. Jugeant son entourage académique dépassé, il publie plusieurs articles dans des journaux mathématiques indiens et tente d'intéresser les mathématiciens européens à son travail par des lettres qu'il leur envoie. Une de ces lettres, envoyée en à Godfrey Harold Hardy, contient une longue liste de formules et de théorèmes sans démonstration. Hardy considère tout d'abord cet envoi inhabituel comme une supercherie, puis en discute longuement avec John Littlewood pour aboutir à la conviction que son auteur est certainement un , un qualificatif souvent repris de nos jours. Hardy répond en invitant Ramanujan à venir en Angleterre ; en compagnie de Littlewood, une collaboration fructueuse en résulte. Affecté toute sa vie par des problèmes de santé, Ramanujan voit son état empirer lors de son séjour en Angleterre, il retourne en Inde en 1919 où il meurt peu de temps après à Kumbakonam à l'âge de trente-deux ans. Il laisse derrière lui des cahiers entiers de résultats non démontrés (appelés les cahiers de Ramanujan) qui, au , continuent d'être étudiés. Ramanujan a travaillé principalement sur les fonctions elliptiques et sur la théorie analytique des nombres, il est devenu célèbre pour ses résultats calculatoires impliquant des constantes telles que et , les nombres premiers ou encore la fonction partition d'un entier, qu'il a étudiée avec Hardy. Grand créateur de formules mathématiques, il en a inventé plusieurs milliers qui se sont pratiquement toutes révélées exactes, mais il aura fallu cent ans pour les traiter toutes : la démonstration de sa dernière formule non élucidée n'a été publiée qu'en 2019. À propos de certaines d'entre elles, Hardy, stupéfait par leur originalité, a déclaré qu’. Biographie vignette|redresse|Maison natale de Ramanujan, au 18 rue Alahiri, Erode.|alt=Photo couleur d'une façade jaune d'une maison à deux étages présentant chacun deux fenêtres et une porte. vignette|redresse|Maison de Ramanujan rue Sarangapani Sannidhi, Kumbakonam, aménagée en musée.|alt=Photo couleur d'une façade jaune d'un bâtiment à un étage dont le toit de tuiles grises est soutenu par deux colonnes peintes en bleu. Jeunesse Srinivasa Ramanujan ( « frère cadet de Rāma ») naît le à Erode, dans l'actuel État du Tamil Nadu en Inde, dans la résidence de ses grands-parents maternels.. Son père, Kuppuswamy Srinivasa Iyengar, né à Thanjavur, travaille comme commis dans un magasin de saris. Sa mère, Komalatammal, est femme au foyer, tout en gagnant un peu d'argent en chantant au temple. Il aura plusieurs frères, dont deux seulement survivront à la petite enfance : Lakshmi Narasimhan (1898-1946) et Thirunarayanan (1905-1978). À un an, il vient vivre chez son père dans une maison traditionnelle de la rue Sarangapani à Kumbakonam. ; en 2003, cette maison a été transformée en un musée honorant ses travaux. Il y passe la plus grande partie des vingt années suivantes. En , Ramanujan contracte la variole, dont il gardera toute sa vie des cicatrices. Il déménage ensuite dans la maison de ses grands-parents maternels, entre-temps installés à Kanchipuram, non loin de Madras. Le , Ramanujan entre à l'école élémentaire ; les deux années suivantes, sa scolarité est chaotique. Sa grand-mère ayant perdu son emploi de fonctionnaire à la cour de Kanchipuram, sa mère et lui retournent à Kumbakonam, où il est inscrit à l'école primaire Kangayan. À la mort de son grand-père paternel, il est renvoyé chez ses grands-parents maternels, qui ont alors déménagé à Madras. Ne supportant pas l'école de Madras, il fait l'école buissonnière, ce qui conduit sa famille à faire appel à la police pour s'assurer qu'il y va effectivement. Six mois plus tard, Ramanujan est de retour à Kumbakonam. Dès lors, le père de Ramanujan étant accaparé par son travail, c'est sa mère qui se charge de son éducation. Elle lui enseigne notamment la tradition brahmane et le purana, ainsi que les chants religieux, afin qu'il puisse assister à des pujas. Réinscrit à l'école primaire Kangayan, Ramanujan y devient un brillant élève. En , juste avant ses dix ans, il termine premier de son quartier aux examens de fin d'études primaires, en anglais, en tamoul, en géographie et en arithmétique. Cette même année, Ramanujan rencontre pour la première fois les mathématiques « abstraites », lors de son passage dans l'enseignement secondaire. En 1898 (il a onze ans), deux étudiants du Government College de Kumbakonam, un établissement d'enseignement supérieur, sont hébergés chez ses parents. Après leur avoir soutiré toutes leurs connaissances en mathématiques, il obtient d'eux le prêt de livres, en particulier Plane Trigonometry, de Sidney Luxton Loney. Dès l'âge de treize ans, il maîtrise les connaissances issues de ce livre, et redécouvre quelques théorèmes. À quatorze ans, il reçoit l'équivalent du baccalauréat français et une bourse universitaire. À quinze ans, Ramanujan emprunte à la bibliothèque du Government College le de George Shoobridge CarrL'édition que Ramanujan a utilisée était précisément intitulée : ., contenant plusieurs milliers de résultats d'analyse et de géométrie, mais ne donnant que quelques indications sur leurs démonstrations, ce que Hardy déplorera par la suite en attribuant à cet ouvrage le style elliptique et non rigoureux de Ramanujan. Cependant, c'est ce livre qui fait entrer Ramanujan dans l'univers des mathématiques.. À dix-sept ans, il étudie en profondeur les nombres de Bernoulli et calcule la constante d'Euler jusqu'à ; à cette époque, ses camarades affirment . vignette|gauche|Le Government College de Kumbakonam, où Ramanujan passa l'année 1904.|alt=Vue de l'entrée du collège, avec le campanile en arrière-plan. Diplômé de la de Kumbakonam en 1904, Ramanujan reçoit le prix K. Ranganatha Rao pour les mathématiques, des mains du directeur de l'école, M. Krishnaswami Iyer. C'est ce dernier qui le recommande au Government College, le qualifiant d'étudiant exceptionnel. Mais à cause de sa focalisation sur les seules mathématiques, Ramanujan perd sa bourse d'études et quitte le domicile familial, en , pour s'installer à Visakhapatnam. Au début de l'année 1906, il s'inscrit au de Madras. Toujours excellent en mathématiques, mais médiocre dans les autres disciplines comme la biologie, Ramanujan échoue à l'examen de et échoue à nouveau l'année suivante. À partir de 1908, il n'essaie plus de suivre un cursus conventionnel, mais continue des recherches personnelles en mathématiques, tout en vivant dans une grande pauvreté matérielle. À cette époque, faute de papier, il effectue ses calculs et ses raisonnements de tête ou sur une ardoise, ne notant que les résultats définitifs sur un cahier. Il conservera cette méthode de travail toute sa vie ; de plus, son isolement l'amène à se construire un système de notation personnel, qui rendra par la suite difficilement déchiffrable son travail. Premiers travaux Inquiète de ses échecs qui obscurcissent son avenir, la famille de Ramanujan décide de le marier. Le , il épouse Janaki Ammal, âgée de dix ans.. Pour survivre, il prépare des étudiants à leurs examens de fin d'année, au Presidency College. Des problèmes de santé apparaissent dès la fin des années 1900. Il demande à son ami Radakrishna Iyer de donner en cas de malheur ses cahiers mathématiques au professeur Singaravelu Mudaliar, du , ou au professeur britannique Edward B. Ross, du . Après sa guérison, Ramanujan part en train de Kumbakonam à Viluppuram, ville alors sous influence française (située dans l'arrière-pays de Pondichéry) et y rencontre V. Ramaswamy Aiyer, fondateur de la Société mathématique indienne. Ramanujan, qui envisage un emploi au département des recettes où Ramaswamy travaille, lui montre ses cahiers de mathématiques. Ramaswamy le racontera plus tard : Ramaswamy envoie Ramanujan à Madras, muni de lettres de recommandation, chez des amis mathématiciens, desquels il obtient de nouvelles lettres de recommandation auprès de R. Ramachandra Rao, le secrétaire de la Société mathématique indienne. Ce dernier est impressionné par les résultats de Ramanujan, tout en émettant des doutes sur leur authenticité. C'est seulement après avoir discuté avec ce jeune prodige d'intégrales elliptiques, de séries hypergéométriques et de séries divergentes, qu'il est convaincu de ses capacités. Ayant demandé à Ramachandra un emploi et un soutien financier, Ramanujan est envoyé à Madras, où il peut continuer ses recherches, tandis que Ramaswamy l'aide à publier ses résultats dans le . L'une de ses premières contributions à ce journal est un problème qui demande de déterminer la valeur d'un radical imbriqué infini, un objet certes inhabituel, mais qui ne devrait pas effrayer un mathématicien. Pourtant, après six mois, n'ayant toujours reçu aucune solution, il publie la réponse, ainsi que quelques indications sommaires pour l'obtenir. En 1911, Ramanujan écrit pour le Journal un article de dix-sept pages sur les nombres de Bernoulli, contenant plusieurs théorèmes et conjectures. À cette époque, son style d'écriture laisse encore beaucoup à désirer. Comme l'écrivait M. T. Narayana Iyengar, l'éditeur du Journal,
En , Ramanujan obtient finalement un poste permanent de comptable auprès du Trésorier général de Madras, un travail lui laissant assez de loisirs pour se consacrer complètement aux mathématiques. Prise de contact avec les mathématiciens britanniques À la fin de , Narayana, Ramachandra et Edgar William Middlemast tentent de présenter les travaux de Ramanujan à des mathématiciens britanniques. Micaiah John Muller Hill, de l'University College de Londres, trouve les articles de Ramanujan trop lacunaires et affirme que, bien que Ramanujan , il manque des bases nécessaires pour être accepté par ses confrères mathématiciens. Même si Hill ne propose pas de prendre Ramanujan comme étudiant, il lui offre des conseils professionnels détaillés sur son travail. Aidé par ses amis, Ramanujan écrit alors des lettres aux mathématiciens les plus prestigieux de l'université de Cambridge. vignette|gauche|redresse|alt=Portrait en noir et blanc de Godfrey Harold Hardy assis dans un fauteuil.|Godfrey Harold Hardy, dans la bibliothèque du Trinity College. Les deux premiers, Henry Frederick Baker et Ernest William Hobson, renvoient les articles de Ramanujan sans commentaires. Le , Ramanujan envoie alors à Godfrey Harold Hardy une lettre de neuf pages, que ce dernier prend d'abord pour une mystification : Hardy reconnaît bien certaines des formules qui y figurent, mais d'autres lui . En particulier, la plupart des étranges fractions continues de la dernière page du manuscrit laissent Hardy perplexe, avouant qu'il n'avait . Il fait à leur sujet cette remarque, aujourd'hui devenue célèbre : .