En mathématiques, une B-spline est une combinaison linéaire de splines positives à support compact minimal. Les B-splines sont la généralisation des courbes de Bézier, elles peuvent être à leur tour généralisées par les NURBS.

Définition Étant donné m+1 nœuds ti dans [0, 1] avec

une courbe spline de degré est une courbe paramétrique

composée de fonctions B-splines de degré n

où les Pi forment un polygone appelé polygone de contrôle ; le nombre de points de contrôle composant ce polygone est égal à m-n.

Les m-n fonctions B-splines de degré n sont définies par récurrence (récurrence de Cox-de Boor) sur le degré inférieur :

Quand les nœuds sont équidistants, c’est-à-dire quand ils sont en progression arithmétique, les B-splines sont dites « uniformes » : c'est le cas des courbes de Bézier qui sont des B-splines uniformes, dont les nœuds ti (pour i entre 0 et m) forment une suite arithmétique de 0 à 1 avec un pas constant 1/m, et où le degré n de la courbe de Bézier ne peut être supérieur à m.

Par extension, lorsque deux nœuds successifs et sont confondus, on pose : cela a pour effet de définir une discontinuité de la tangente, pour le point de la courbe paramétré par une valeur de t, donc d'y créer un sommet d'angle non plat ; toutefois il est souvent plus simple de définir ce « B-spline étendu » comme l'union de deux B-splines définis avec des nœuds distincts, ces splines étant simplement joints par ce sommet commun, sans introduire de difficulté dans l'évaluation paramétrique ci-dessus des B-splines pour certaines valeurs du paramètre t. Mais cela permet de considérer alors tout polygone simple comme un B-spline étendu.

Propriétés

La forme des fonctions de base est déterminée par la position des nœuds.

La courbe est à l'intérieur de l'enveloppe convexe des points de contrôle.

Une B-spline de degré n

est non nulle dans l'intervalle [ti, ti+n+1[ :

En d'autres termes, déplacer un point de contrôle ne modifie que localement l'allure de la courbe.

B-splines en une dimension

Les B-splines peuvent être utilisées comme fonctions de base dans la théorie de l'approximation. La B-spline de degré n est donnée par :

où (y)+ est une version étendue de la fonction partie positive :

On reconnaît notamment la spline de degré 0 comme la fonction porte.

Ces fonctions ne sont pas interpolantes, mais leur régularité élevée sur un support compact en font des candidats intéressants dans l'approximation de fonctions.

Références

Liens internes Spline Courbe de Bézier

Liens externes

Splines: A unifying framework for image processing (tutoriel sur les B-splines)

Catégorie:Spline Catégorie:Interpolation polynomiale

de:Spline#B-Splines