vignette|John Wallis, par Godfrey Kneller. En mathématiques, et plus précisément en analyse, une intégrale de Wallis est une intégrale faisant intervenir une puissance entière de la fonction sinus. Les intégrales de Wallis ont été introduites par John Wallis, notamment pour développer le nombre en un produit infini de rationnels : le produit de Wallis.
Définition, premières propriétés Les intégrales de Wallis sont les termes de la suite réelle définie par :
ou de façon équivalente (par le changement de variable ) : .
Les premiers termes de cette suite sont :
Puisque pour , on a , la suite est (strictement) positive et décroissante ; on en déduit, d’après le théorème de convergence dominée, que sa limite est nulle ; ce résultat est également conséquence de l'équivalent qui sera obtenu plus loin.
Relation de récurrence, calcul des intégrales de Wallis Une intégration par parties permet d'établir la relation de récurrencePour le détail des calculs, voir par exemple le lien en bas de cette page vers Wikiversité. : .
De cette relation et des valeurs de et , on tire une expression des termes de la suite, selon la parité de leur rang en utilisant la double factorielle de ce rang :
Autre relation pour le calcul des intégrales de Wallis Les intégrales de Wallis peuvent s'exprimer grâce aux intégrales eulériennes : L'intégrale d'Euler de première espèce aussi appelée fonction bêta :
L'intégrale d'Euler de seconde espèce aussi appelée fonction gamma : . Sachant que et , on peut écrire les intégrales de Wallis sous la forme suivante : .
Un équivalent de la suite des intégrales de Wallis De la formule de récurrence précédente, on déduit l'encadrement : , d'où l'équivalence : . Puis, en étudiant , on établit l'équivalent suivant : .
Série génératrice La série génératrice des termes pairs est .
La série génératrice des termes impairs est, Annexe 2. .
Applications
Établissement de la formule de Stirling On suppose connue l'existence d'une constante telle que : . En remplaçant les factorielles dans l'expression ci-dessus des intégrales de Wallis, on en déduit un nouvel équivalent : .
En le confrontant à l'équivalent de obtenu précédemment, on en déduit que .
On a ainsi établi la formule de Stirling : .
Calcul de l'intégrale de Gauss
On peut aisément utiliser les intégrales de Wallis pour calculer l'intégrale de Gauss.
On utilise pour cela l'encadrement suivant, issu de la construction de la fonction exponentielle par la méthode d'Euler : pour tout entier et tout réel , .
Posant alors , on obtient :
.
Or les intégrales d'encadrement sont liées aux intégrales de Wallis. Pour celle de gauche, il suffit de poser (t variant de 0 à ). Quant à celle de droite, on peut poser (t variant de 0 à ) puis majorer par l'intégrale de 0 à . On obtient ainsi : . Par le théorème des gendarmes, on déduit alors de l'équivalent de ci-dessus que .
Remarque : il existe bien d'autres méthodes de calcul de l'intégrale de Gauss, dont une méthode bien plus directe.
Calcul de
Puisque , . Or d'après le calcul ci-dessus des intégrales de Wallis : .
On en déduit pour la constante l'expression (appelée produit de Wallis) : .
Généralisations Plusieurs auteurs ont étudié la suite d'intégrales, appelées m-intégrales de Wallis:
Notes et références
Voir aussi
Articles connexes Calcul du volume de l'hypersphère Liens externes John Wallis, sur le site L'univers de π.
Wallis