A lóxica, termo con orixe no grego λογική logos, 'razón', 'palabra', é a parte da filosofía e das matemáticas que se ocupa dos razoamentos expresados lingüisticamente. Estuda a súa estrutura, a súa forma e a súa corrección e establece cando un razoamento está ben construído e podemos, polo tanto, asegurar a validez da súa conclusión.
Así como o obxecto de estudo tradicional da química é a materia, e o da bioloxía a vida, o da lóxica é a inferencia. A inferencia é o proceso polo cal se derivan conclusións a partir de premisas. A lóxica investiga os principios polos cales algunhas inferencias son aceptables, e outras non. Cando unha inferencia é aceptable, éo pola súa estrutura lóxica, e non polo contido específico do argumento ou a linguaxe utilizada. Por esta razón a lóxica considérase unha ciencia formal, como a matemática, no canto dunha ciencia empírica.
A lóxica tradicionalmente foi considerada unha rama da filosofía. Pero desde finais do século XIX, a súa formalización simbólica demostrou unha íntima relación coas matemáticas, e deu lugar á lóxica matemática. No século XX a lóxica pasou a ser principalmente a lóxica simbólica, un cálculo definido por símbolos e regras de inferencia, o que permitiu a súa aplicación á informática. Até o século XIX, a lóxica aristotélica e estoica mantiveron sempre unha relación cos argumentos formulados en linguaxe natural. Por iso, aínda que eran formais, non eran formalistas. Hoxe esa relación trátase baixo un punto de vista completamente diferente. A formalización estrita mostrou as limitacións da lóxica tradicional ou aristotélica, que hoxe se interpreta como unha parte pequena da lóxica de clases.
A natureza da lóxica miniatura|Aristóteles, 384–322 adC., un dos pais da filosofía. O concepto central que estuda a lóxica é a relación de consecuencia lóxica. Informalmente podémolo expresar de varias maneiras. Dado un conxunto de proposicións (as premisas) e unha proposición (a conclusión) podemos dicir que as premisas teñen como consecuencia lóxica a conclusión se esta se segue das premisas, ou se as premisas constitúen unha boa xustificación para a conclusión, ou o razoamento que empeza coas premisas e acaba coa conclusión é loxicamente válido. Esta relación explicouse de varias maneiras que, xeralmente, parten dunha mesma idea básica: entre unhas premisas e unha conclusión hai relación de consecuencia lóxica se, e só se, non é posible que as premisas sexan verdadeiras e en cambio a conclusión sexa falsa.
A forma tamén é unha noción central para a lóxica porque permite estudar a consecuencia lóxica. Recibiu varios tratamentos. En particular, a lóxica simbólica fíxoo a través de linguaxes simbólicas, mentres que a lóxica tradicional aristotèlica-medieval fíxoo a través da siloxística.
A lóxica informal ou dialéctica estuda o razoamento feito en linguaxe natural sen facer unha formalización. Unha rama moi significativa é a que se dedica ás falacias. Os diálogos de PlatónPlatón, The Portable Plato, editado por Scott Buchanan, Penguin, 1976, ISBN 0-14-015040-4. son un exemplo clásico. A lóxica formal estuda a inferencia a través de sistemas formais que fan abstracción do contido das proposicións e fíxanse só na súa forma. As primeiras regras de lóxica formal foron descritas por Aristóteles.Aristóteles, The Basic Works, Richard Mckeon, editor, Modern Library, 2001, ISBN 0-375-75799-6, especialmente, Posterior Analytics. A grandes liñas, podemos dicir que a todo sistema formal correspóndelle determinar unha linguaxe (natural ou artificial) en que se formulan as proposicións, uns enunciados que se consideran verdadeiros e que non hai que demostrar (os axiomas) e unhas regras de inferencia que permiten obter novos enunciados a partir de enunciados xa xustificados. Aqueles enunciados que se poden demostrar simplemente a partir dos axiomas e as regras de inferencia (é dicir, sen o uso de premisas suplementarias) son os teoremas do sistema. A lóxica simbólica é a parte da lóxica formal que opera só con linguaxes simbólicas artificiais especialmente deseñados para captar só os aspectos formais da inferencia.Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand. Cambridge University Press. Principia Mathematica to *56, 1967. ISBN 0-521-62606-4.Ver un tratamento moderno de A. G. Hamilton, Logic for Mathematicians, Cambridge, 1980, ISBN 0-521-29291-3. Normalmente a lóxica simbólica divídese en dúas ramas: lóxica proposicional ou sentencial e lóxica de predicados. A lóxica matemática é a extensión da lóxica simbólica a áreas que, sexa porque teñen unha vontade de fundamentación ou sexa porque usan métodos e resultados, son de interese para (ou aínda pertencen a) as matemáticas ou a informática, por exemplo a teoría de modelos, a teoría da proba, a teoría de conxuntos e a teoría da computabilidade.
Consistencia, corrección e completude Algunhas das propiedades máis importantes que pode ter un sistema formal son as seguintes:
Consistencia: o sistema é libre de contradicións, é dicir, as proposicións que permite xustificar son loxicamente compatibles entre si e non é posible derivar ningunha contradición.
Corrección: o sistema só permite derivar proposicións que son consecuencia lóxica das premisas que se utilizaron na derivación, é dicir, non permite derivar unha proposición falsa a partir de premisas verdadeiras. Polo tanto, se un sistema é correcto e ten axiomas verdadeiros, entón todos os teoremas que permite demostrar son tamén verdadeiros, e todas as consecuencias que permite derivar de premisas verdadeiras tamén son verdadeiras. Deste xeito a relación de derivabilidade nun sistema formal correcto é unha relación de consecuencia lóxica.
Completude: dado calquera conxunto de premisas o sistema permite derivar todas as proposicións que son consecuencia lóxica.
Xusto é dicir que non todos os sistemas formais gozan destas tres propiedades. De feito, os soados traballos de Kurt Gödel mostraron que non hai ningún sistema útil para a aritmética que sexa ó tempo consistente e completo.
Razoamento dedutivo e indutivo En todo o que dixemos até aquí facíamos referencia só ao razoamento dedutivo, é dicir, a aquel que estuda a relación de consecuencia lóxica entre un conxunto de premisas e unha conclusión. Aínda así, hai que ter en conta que tradicionalmente tamén se considerou outro tipo de razoamento, o razoamento indutivo, que tipicamente deriva xeneralizacións aceptables a partir de observacións empíricas. Este outro tipo de razoamento tamén foi obxecto de estudo pola lóxica. Polo tanto, hai que distinguir coidadosamente entre a validez dedutiva e a validez indutiva. Dixemos que unha inferencia é dedutivamente válida se, e só se, non é posible que as premisas sexan verdadeiras e a conclusión sexa falsa. Así, a inferencia dedutiva ou consecuencia lóxica recibe un tratamento puramente semántico. A validez indutiva, en cambio, require aclarar que é unha xeneralización aceptable a partir dun conxunto de observacións empíricas. Este concepto tentouse dilucidar desde varios puntos de vista, algúns máis formais que outros, e ás veces deron lugar a definicións que involucran modelos probabilísticos.
Concepcións diferentes da lóxica Como vimos até agora, a lóxica xurdiu da preocupación pola corrección da argumentación. Os lóxicos modernos normalmente queren asegurarse que a lóxica estuda tan só aqueles argumentos que se desprenden de formas xerais apropiadas de inferencia. Así pois, por exemplo, a Enciclopedia Stanford de Filosofía di da lóxica que non cobre, aínda así, a totalidade dos bos razoamentos. Esta é a tarefa da racionalidade. Máis ben, a lóxica trata con inferencias das que se pode determinar a orixe da súa validez nas características formais das representacións que están involucradas nesta inferencia, sexa esta lingüística, mental, ou doutro tipo.
Como contraste, Immanuel Kant argumentou que a lóxica tería que se concibir como ciencia do xuízo, unha idea recollida nas obras lóxicas e filosóficas de Gottlob Frege, onde o pensamento (en alemán: gedanke) se substitúe polo xuízo (en alemán: urteil). Seguindo esta concepción, as inferencias lóxicas válidas seguiríanse das características estruturais do xuízo ou dos pensamentos.
Historia da lóxica
A lóxica como ciencia e como instrumento de coñecemento científico nace en Grecia e foi fundada por Aristóteles, que escribe moitos tratados sobre o razoamento dedutivo referíndose a unha modalidade deste razoamento que recibe o nome de siloxismo. A esta lóxica iniciada por este filósofo, e conservada practicamente na súa totalidade con algunhas achegas da Idade Media e da Idade Moderna, dámoslle o nome de lóxica clásica ou tradicional. A partir do século XIX comeza a contribución de matemáticos e lóxicos como Boole (XIX), Frege (XIX-XX) ou Rusell (XX), e con eles iniciase a chamada lóxica moderna ou simbólica. As principais diferenzas entre a lóxica clásica e moderna son as seguintes: Na lóxica tradicional só se substituían por símbolos as partes variables dos enunciados, é dicir, os nomes e os predicados, e os outros elementos permanecían nunca linguaxe natural. Coa lóxica simbólica tamén os elementos que sinalan relacións se substitúen. Outra diferenza é que a lóxica moderna ten unha linguaxe formal (por iso pode chamarse lóxica formal), pois non emprega unha linguaxe corrente senón as súas propias regras e signos. A pesar de todo a lóxica moderna non anula á anterior porque inclúe as contribucións fundamentais da súa predecesora. Por iso, a lóxica moderna é máis ampla.
Idade Antiga A lóxica, como unha análise explícita dos métodos de razoamento, desenvolveuse orixinalmente en tres civilizacións da historia antiga: China, India e Grecia, entre o século V e o século I a.C.
Na China non durou moito tempo: a tradución e a investigación escolar en lóxica foi reprimida pola dinastía Qin, acorde coa filosofía lexista. Na India, a lóxica durou bastante máis: desenvolveuse (por exemplo coa nyāya) ata que no mundo islámico apareceu a escola de Asharite, a cal suprimiu parte do traballo orixinal en lóxica. A pesar do anterior, houbo innovacións escolásticas indias até principios do século XIX, pero non sobreviviu moito dentro da India colonial. O tratamento sofisticado e formal da lóxica moderna aparentemente provén da tradición grega.
Considérase a Aristóteles o fundador da lóxica como propedéutica ou ferramenta básica para todas as ciencias. Aristóteles foi o primeiro en formalizar os razoamentos, utilizando letras para representar termos. Tamén foi o primeiro en empregar o termo «lóxica» para referirse ao estudo dos argumentos dentro da «linguaxe apofántica» como manifestador da verdade na ciencia. Sostivo que a verdade maniféstase no xuízo verdadeiro e o argumento válido no siloxismo: «Siloxismo é un argumento no cal, establecidas certas cousas, resulta necesariamente delas, por ser o que son, outra cousa diferente». Referiuse en varios escritos do seu Órganon a cuestións tales como concepto, a proposición, definición, proba e falacia. Na súa principal obra lóxica, os Primeiros analíticos, desenvolveu o siloxismo, un sistema lóxico de estrutura ríxida. Aristóteles tamén formalizou o cadro de oposición dos xuízos e categorizou as formas válidas do siloxismo. Ademais, Aristóteles recoñeceu e estudou os argumentos indutivos, base do que constitúe a ciencia experimental, cuxa lóxica está estreitamente ligada ó método científico. A influencia dos logros de Aristóteles foi tan grande, que no século XVIII, Immanuel Kant chegou a dicir que Aristóteles practicamente completara a ciencia da lóxica.*Kant. Crítica da Razón Pura, 1781
Os filósofos estoicos introduciron o siloxismo hipotético e anunciaron a lóxica proposicional, pero non tivo moito desenvolvemento.